2013有限元单元刚度矩阵(10-27讲课用

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1、6/14/2013第二章平面问题的有限元法16/14/20132-1离散化2-2平面问题的常应变(三角形)单元2-3单元刚度矩阵2-4单元刚度矩阵的物理意义及其性质2-5单元载荷移置2-6整体分析2-7整体刚度矩阵的形成整体刚度矩阵的特点2-8支承条件的处理26/14/20132.1离散化图3-1´弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：´1、所分析问题的数学建模2、离散化3、单元分析4、整体分析与求解5、结果分析36/14/20132-2平面问题的常应变（三角形）单元有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续

2、体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。46/14/20132-2平面问题的常应变（三角形）单元1、位移函数如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单

3、元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，22uaaxayaxaxyay=++++++...12345622vbbxbybxbxyby=++++++...123456多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。56/14/20132-2平面问题的常应变（三角形）单元

4、六个节点位移只能确定六个多项式的系三结点三角形单元数，所以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下，ux=++αααy⎫123⎬v=++αααxy456⎭该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。其中α~α为广义坐标或待定系数，16可据节点i、j、m的位移值和坐标值求出。⎧a1⎫⎪⎪a⎪2⎪⎧⎫⎡ux10y00⎤⎪⎪a⎪⎪3位移函数写成矩阵形式为：{}δ==⎨⎬⎨⎢⎥⎬⎩⎭⎣vx0001y⎦⎪a4⎪⎪a⎪5⎪⎪⎪⎩⎭a6⎪66/14/20132-2平面问题的常应变（三角形）单元1xyii最终确定六个待定系数其中21A=

5、xyjj⎧α1⎫⎧⎡⎤aaauijmi⎫1xymm⎪⎪⎪1⎢⎥⎪⎨α⎬⎨=bbbu⎬2⎢⎥ijmj⎪⎪⎪2A⎢⎥cccu⎪a(i,j,m),b(i,j,m),c(i,j,m)只是记号，表α⎩⎭3⎣⎦ijmm⎩⎭示此方阵仅与x(i,j,m),y(i,j,m)有⎧α⎫⎧⎡⎤aaav⎫4ijmi关。⎪⎪⎪1⎢⎥⎪axyxyij=mm−j⎨α⎬⎨=bbbv⎬5⎢⎥ijmj2Abyy=−i,j,m轮换⎪⎪⎪⎢⎥⎪ijmαcccv⎩⎭6⎣⎦ijmm⎩⎭cxx=−imj为2A第1行各个元素的代数余子式，1ua=+[(bx++cy)u(a+bx++cy)u(a+bx

6、+cy)]uiiiijjjjmmmm2A1va=+[(bx++cy)vabxc(+++y)vabxc(++y)]viiiijjjjmmmm2A76/14/20132-2平面问题的常应变（三角形）单元1令Naii=+()bix+ciy（下标i，j，m轮换）⎧ui⎫2A⎪⎪v⎪i⎪⎧⎫u⎡⎤NNN000⎪⎪u⎪⎪ijmj{}δ==⎨⎬⎨⎢⎥⎬v000NNNv⎩⎭⎣⎦ijm⎪j⎪⎪u⎪m⎧δi⎫⎪⎪e⎪⎪⎪⎩⎭vm⎪简写为{}δ==[]NI{}δδ⎡⎤⎣⎦NijmjININ⎨⎬⎪⎪δ⎧ui⎫⎩⎭m⎪⎪v⎧⎫⎪i⎪δi[I]是单位矩阵，e⎪⎪⎪⎪⎪uj⎪{}

7、δδ==⎨⎬⎨⎬j[N]称为形函数矩阵，v⎪⎪⎪⎪jδ⎩⎭m⎪⎪N只与单元节点坐标有关，称为单元uim⎪⎪的形状函数⎩⎭⎪vm⎪82-2平面问题的常应变（三角形）单元´据弹性力学几何方程得单元的应变分量⎧⎫∂u⎧⎫εα⎪⎪∂x⎧⎫x2⎪⎪⎪⎪⎪⎪==∂v=εε⎨⎬⎨⎬⎨α⎬y∂y6⎪⎪⎪⎪⎪⎪γ⎩⎭αα+⎩⎭xy⎪⎪∂∂uv+35⎩⎭∂∂yx´由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）6/14/201392-2平面问题的常应变（三角形）单元2、形函数

8、的特点及性质1)形函数N为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。i2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而