单元刚度矩阵.ppt

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1、有限元思路框图解综合方程[K]{⊿}={P}求结构节点位移{⊿}计算结构内力和应力系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]形成等价节点荷载{P})离散（剖分）结构为若干单元单元分析(建立单元刚度矩阵[k]e形成单元等价节点力)（1）剖分结构时应对单元、节点分别用连续正整数编号。123456789①②③④⑤⑥⑦⑧○○○○○○○○○○zxyuxuyuz②（2）从结构中取出单元，进行单元分析⑦52623②杆件单元板单元第二章单元分析——平面问题常应变单元在用矩阵描述单元各种力学量时，不同性质单元的同一力学量可采用相同的矩阵符号，不同的仅仅是矩阵体积和矩阵元素。本章主要讲

2、单元分析的一般理论、方法。但为了便于理解，以平面问题常应变三角形单元为对象进行说明、演引。必须指出：尽管说明、演引中具有明显的针对性（平面问题三角形单元），但原理、方法和主要矩阵公式都具有普遍性。单元分析的内容结点位移(1)单元内部各点位移单元应变单元应力(2)(3)结点力(4)位移协调模式几何方程物理方程平衡方程边界条件单元分析单元刚度矩阵（2-1）2、单元内任意点的体积力列阵qV（2-2）1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qsijmxyijmxyqV·qs·2.1基本力学量矩阵图2-1ijmxy·uv3、单元内任意点的位移列阵f（2-3）4、单元内任意

3、点的应变列阵（2-4）ijmxy·5、单元内任意点的应力列阵（2-5）6、几何方程列阵（2-6）将上式代入式（2-4）ijmxy·（2-4）7、物理方程矩阵式（2-7）式中E、——弹性模量、泊松比。上式可简写为（2-8）对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可表示为：（2-9）矩阵[D]称为弹性矩阵。式（2-9）给出的弹性矩阵[D]的矩阵元素是按照平面应力问题的物理方程得出的；对于平面应变问题，需将式（2-9）中的E换为，换为。（2-8）各种类型结构的弹性物理方程都可用式（2-8）描述。但结构类型不同，力学性态(应力分量、应变分量)有区

4、别，弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。其中:单元分析的内容结点位移(1)单元内部各点位移单元应变单元应力(2)(3)结点力(4)位移协调模式几何方程物理方程平衡方程边界条件单元分析单元刚度矩阵？2.2位移函数和形函数1、位移函数概念“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先给出（设定）位移函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情。有限单元法中当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式也可得到相当精确的结果。这正是有限

5、单元法具有的重要优势之一。不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面问题三角形单元（图2-2）为例，说明设定位移函数的有关问题。图2-2是一个三节点三角形单元，其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量：（2-10）图2-2ijmuiujumvivjvmxy2、位移函数设定举例一个三角形单元有3个节点（以i、j、m为序），共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：（2-11）本问题选位移函数为：（2-12）式中:a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的6个分量确定。式（2-12）位移函数中，a1、a4代表刚体位移，a2、a3

6、、a5、a6代表单元中有常应变，且位移函数是连续函数。ijmuiujumvivjvmxy·uv3、选取位移函数应考虑的问题（1）单元有几个位移函数单元中任意一点有几个位移分量就有几个位移函数。本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元位移列阵中的位移分量数。以便用单元位移确定位移函数中的待定常数。本单元位移列阵中有6个分量，为了能把2个位移函数（u、v）和单元位移的6个分量联系起来，两个位移函数中包含的待定常数一共应有6个。（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：X、Y；（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）

7、位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续;相邻单元间要尽量协调。条件（4）、（5）构成单元的完备性准则，条件（6）是单元的协调性条件。理论和实践都已证明:完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件，再加上位移协调条件(充分条件)才构成有限元解的充要条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。(a2,a6,a3+a5)位移函数中包含了单元的刚体位移:③④254136①②对任一单元，如③单元，取位移函数：①、②、③、④单元