有限元第三章单元类型及单元刚度矩阵.ppt

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1、第三章单元类型及单元刚度矩阵一、形状函数类型及其特征1.Langrange型形状函数2.Hermite型形状函数二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元2.三次梁单元三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元2.矩形单元四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元2.四面体单元3.曲线等参元第三章单元类型及单元刚度矩阵有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单元内用较简单的函数描述单元位移，即这是对单元位移u(x)的近似。在前面两章的介绍中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内点位移，这里所用的变量qi，是节点位移的一种推广，即一组广义坐标，或称广义

2、节点位移，包括节点位移和节点位移导数。Ni为形状函数。根据单元广义节点位移的不同，形状函数分两类：Langrange和Hermite型。1.Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之确定。2.Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点位移和节点位移导数。一、形状函数类型及其特征在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设适应满足的4项原则。●包含单元的刚体位移●包含单元的常应变状态●保证不偏惠各坐标轴

3、●保证单元内位移连续体现位移函数完备性体现位移函数几何不变性体现位移函数协调性一、形状函数类型及其特征要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。二维单元的帕斯卡三角形一、形状函数类型及其特征三维的帕斯卡三角形一、形状函数类型及其特征形状函数应该满足以下条件1.2.3.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续4.保证所定义位移函数反映常应变状态一、形状函数类型及其特征工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类结构可用有

4、限元中的一维单元来离散，根据问题的不同，一维单元又可分为杆单元和梁单元。二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。●一次杆单元单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部坐标，记，并取i为x坐标的原点，则有i(1)j(2)lFFxξ根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算

5、（二点一次拉氏插值），即1.杆单元●一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵代入，有令得所以单元内点位移为单元应变1.杆单元●一次杆单元二、一维单元及其单元刚度阵所以，几何矩阵为单元应力为弹性矩阵单元刚度矩阵通式为二、一维单元及其单元刚度阵代入，得这是一次杆单元的单刚阵，它对称、对角线元素大于零且奇异！1.杆单元●一次杆单元当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时，其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵，为：i(1)j(2)lMnxξMn二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●一次杆单元●二次杆单元单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,三个节点依次为1

6、、3、2。单元位移可以根据抛物线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即i(1)j(2)lFFxξ(3)同样令二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元令二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元所以单元内点位移为单元应变二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元几何矩阵为单元应力为单元刚度矩阵二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元元素的计算可以直接应用元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵1.杆单元●二次杆单元其余元素利用对称性可求得2.三次梁单元梁单元如图所示，仅考虑节点在

7、xoy平面内的位移为v、θ，这时一个单元有四个自由度，形状函数为三次多项式，即使用三次Hermite插值多项式。二、一维单元及其单元刚度阵12lMz1xMZ2yzQy2Qy12.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵Hermite位移插值多项式2.三次梁单元其中二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）其中二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵同样令2.三次梁单元单元应力为单元刚度矩阵引入二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元单元刚度矩阵元素的计算二、一维单元及其单元刚度阵2.三次

8、梁单元二、一维单元及其单元刚度阵元素的计算2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵元素的计算2.三次梁单元二、一维单元及其单元刚度阵元素的计算其余元素