§6.3.1不等式的证明(一)

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1、§6.3.1不等式的证明(一)黄冈中学网校达州分校教学目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式教学重点：比较法的应用教学难点：常见解题技巧黄冈中学网校达州分校一、复习引入：1.重要不等式：2.定理：3.公式的等价变形：黄冈中学网校达州分校5.定理：6．推论：黄冈中学网校达州分校二、讲解新课：1．作差法步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论作差——变形——判断与0的关系——结论2．作商法步骤：要证明a>b只要证ab>0；要证明a

2、要证ab<0这种证明不等式的方法通常叫做比较法.黄冈中学网校达州分校例1求证：x2+3>3x证明：∵(x2+3)3x∴x2+3>3x1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．至于怎样变形，要灵活处理:2.本题变形的方法——配方法.三、讲解范例：黄冈中学网校达州分校例2已知a,b,m都是正数，并且a0,ba>01.本题变形的方法——通分法．2.本题的结论反映了分式的一个性质(若a,b,m都是正数)．当ab时黄冈中学网校达州分校

3、例3.已知a,b都是正数，并且ab，求证：a5+b5>a2b3+a3b2证：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵ab，∴(ab)2>0∴(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b2黄冈中学网校达州分校例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另

4、一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，则：∵S,m,n都是正数，且mn，∴t1t2<0即：t1

5、积，或变形为一个或几个平方的和等．(3)判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边的差的正负号．(4)结论：肯定所求证的不等式成立黄冈中学网校达州分校比较(aab+cbc+aca+b证明：由a,b,c为不等正数，不失一般性，设a>b>c>0，这时a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0∵a>b>c>0，∴由指数函数的性质，可知即a2ab2bc2c>a

6、b+cbc+aca+b黄冈中学网校达州分校作商法：1.作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较2.注意分母的正负作商——变形——判断——结论黄冈中学网校达州分校1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？黄冈中学网校达州分校小结：比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法．用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号．要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形．黄冈中

7、学网校达州分校书面作业课堂练习<<教材>>练习1.2.3.4.5<<教材>>习题6.3–1.2.3黄冈中学网校达州分校