5-4（2）数列2

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1、05限时规范特训A级　基础达标1．[2014·杭州模拟]数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)A．200B．－200C．400D．－400解析：S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案：B2．[2014·江南十校联考]若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　)A．1－B．1－C.(1－)D.(1－)

2、解析：an＝2n－1，设bn＝＝()2n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋()3＋…＋()2n－1＝＝(1－)．答案：C3．[2014·锦州模拟]设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　)A.B.C.D.解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1.∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n.∴＝＝＝－.∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝1－＝.答案：A4．[2014·西安模拟]数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋

3、2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是(　　)A．7B．8C．9D．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.若Sn>1020，则2n＋1－2－n>1020，∴n≥10.故选D项．答案：D5．已知等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：设等比数列{an

4、}的公比为q，∵a5·a2n－5＝22n(n≥3)，∴a1q4·a1q2n－6＝22n，即a·q2n－2＝22n⇒(a1·qn－1)2＝22n⇒(an)2＝(2n)2，∵an>0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log22＋log223＋…＋log222n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝·n＝n2.答案：C6．[2014·景德镇质检]已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2014等于(　　)A．－2013B．－2014C．2

5、013D．2014解析：当n为奇数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)；当n为偶数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1.所以a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝2(－1＋2－3＋4＋…－2013＋2014)＝2014.答案：D7．设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)，则满足<<的所有n的和为________．解析：由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，两式相减，得2an＋1－2an＋an＝0，化简得2a

6、n＋1＝an(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，易得＝，所以数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝3[1－()n]，S2n＝3[1－()2n]代入<<，可得<()n<，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.答案：78．[2014·北京西城区月考]已知{an}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________；＋＋…＋＝________.解析：∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，∴＝()n，即数列{}是首项

7、为，公比为的等比数列，∴＋＋…＋＝＝(1－)．答案：2　(1－)9．[2014·武汉模拟]若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝________.解析：令n＝1，得＝4，即a1＝16.当n≥2时，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以an＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合，所以an＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是＝4(n＋1)，故＋＋…＋＝2n2＋6n.答案：2n2＋6n10．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列

8、．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公差为d，由a1＝2和a2，a3，a4＋1成等比数列，得(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1.当d＝－1时，a3＝0，与a2，a3，a4＋1成等比数列矛盾，舍去．