5-4数列求和能力提升

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1、[A组　基础演练·能力提升]一、选择题1．设{an}和{bn}都是等差数列，其中a2＋b2＝20，a99＋b99＝100，则数列{an＋bn}的前100项之和S100＝(　　)A．6000　　B．60000　　　C．600　　D．5050解析：S100＝＝＝＝6000.答案：A2．(2014年惠州调研)已知数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}前12项和S12＝(　　)A．76B．78C．80D．82解析：由已知得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取

2、n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.答案：B3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S10>0，S11<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的取值为(　　)A．5B．6C．4D．7解析：由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5.答案：A[来源:学.科.网]4．(2014年郑

3、州模拟)在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k为(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：依题意得，数列{an}是等比数列，a1＝3＋k，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k＝－1，选A.答案：A5．(2014年茂名模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝(　　)A．1B．9C．10D．55解析：由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10，又由于a10＝S10－S

4、9＝S1＝a1＝1.故a10＝1.答案：A6．(2014年锦州模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和是(　　)A.B.C.D.解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1.∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n.∴＝＝＝－.∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋＝1－＝.答案：A二、填空题7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n·(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2013＝________.解析：由a1＝

5、1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005.答案：－10058．(2014年石家庄模拟)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．解析：由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为[来源:学&科&网]－n＝2n＋1－2－n.答案：2n＋1－2－n9．(201

6、4年武汉模拟)等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1适合上式，∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案：(4n－1)三、解答题10．(2014年合肥模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.(1)当实数

7、t为何值时，数列{an}是等比数列；(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.解析：(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，即an＋1＝4an，(n>1)．又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn

8、＝log4an＋1＝n.cn＝an＋bn＝4n－1＋n，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋.11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？解析：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n