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1、1.3二次函数的性质函数y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，回顾旧知xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x2－4x－6y=0.75x2+3xy=－0.5x2－2x－1.5观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）探索1：增减性yx0246-22-44y=2x2－4x－6y=－0.5x2－2x－1.5问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？你还能发现：这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a
2、≠0）中的那一个系数决定的吗？由a决定探索1：增减性例已知抛物线y＝a(x－1)2＋k(a，k是常数，且a＞0)上三点P1(－2，y1)，P2(－1，y2)，P3(1，y3)，则()A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y3＞y1＞y2D．y2＞y1＞y3解析：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1.当x≤1时，y随x的增大而减小，∵－2＜－1＜1，∴y1＞y2＞y3.答案：A反思：二次函数的增减性，首先考虑开口方向，然后对称轴为分界线．探索1：增减性二次函数y＝－2(x＋2)2＋3，当x＜m时总有y随x的增大而增大，则m的
3、取值范围是()A．m≤－2B．m≥－2C．m＜－2D．不能确定错解：D或B正解：A错因：抛物线开口向下，当x≤－2时，y随x增大而增大，现在要保证x＜m时都有y随x的增大而增大，说明x＝m在对称轴的左边或与对称轴重合，所以答案A正确，而答案D则是理解错x＜m的意义.探索1：增减性(1)每个图象与x轴有几个交点？二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3)你能求出图象与x轴交点的坐标?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几
4、个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？探索2：二次函数与x轴交点2、已知函数y=x2－3x－4.⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；解：∵y=x2－3x－4＝(x－1.5)2－6.25,∴图象顶点坐标为(1.5,－6.25);又当y=0时，得x2－3x－4＝0的解为：x1＝－1，x2＝4。则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0)与y轴的交点为(0,－4)(－1,0)(1.5,－6.25)(0,－4)(4,0)x=1.5Oyx⑵记当x1=3.5,x2=,x3=时对应的函数值分别
5、为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小?⑵如右图可知:y2＞y1＞y3(,y2)(,y3)(3.5,y1)巩固练习二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0ax2+bx+c=0方程解的个数y=ax2+bx+c图象与x轴交点的个数探索2：二次函数与x轴交点二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐
6、标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.ax2+bx+c=0方程的解y=ax2+bx+c图象与x轴交点的横坐标探索2：二次函数与x轴交点⑴y=2X２-X-1⑵y=4X2+4X+1⑶y=3X2+2X+51、抛物线与x轴的交点的个数：2个1个0个b2-4ac﹥0b2-4ac=0b2-4ac<02、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个D探索2：二次函数与x轴交点例：已知函数(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；解：（1）∵a=－
7、0.5,b=－7,c=7.5;例题讲解x=－720xy10O10－10305－10－20－15－5(－7，32)(0，7.5)(－15，0)(1，0)⑵自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。解：⑵由右图可知，当x≤－7时，y随x的增大而增大；当x≥－7时，y随x的增大而减小；当x＝－7时，函数有最大值32。（3）根据图象，说出x取哪些值时，①y=0;②y<0;③y>0.当-15＜x＜1时当x=-15或x=1时当x＜-15或x＞1时例题讲解1、求下列函数的最大值（或最小值
8、）和对应的自变量的值：⑴y=2x2－8x＋1；⑵y=－3x2－5x＋1巩固练习2、已知函数y=x2－3x－4.⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；解：∵y=x2－3x－4＝(x－1.5)2－6.25,∴图象顶点坐标为(1.5,－6.25)
