18.2.1 勾股定理的逆定理

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1、X勾股定理的逆定理回忆过去1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形?古埃及人曾用下面的方法得到直角按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13；6，8，10。（1）这三组数都满足吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？动手画一画由上面几个例子你发现

2、了什么吗?请以命题的形式说出你的观点!命题2如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有。a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题345ACBA′B′C′34古埃及人的做法：△ABC中，BC=3、AC=4、AB=5这两个三角形有什么关系？全等我们作Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°B′C′=3、A′C′=4345ACBA′B′C′34在中根据勾股定理有≌∵∠C′=90°∴A′B′

3、2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A′B′2=c2∴A′B′=c∵A′B′＞0∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠C=∠C′=90°BC=a=B′C′CA=b=C′A′AB=c=A′B′已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，C′A′=b在△ABC和△A′B′C′中则△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题ACBA′B′C′勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有。a2+b2=c2勾股定理如果

4、三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理驶向胜利的彼岸定理与逆定理开启智慧我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．说出下列命题的逆命题．这

5、些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等，两条直线平行.成立逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立感悟:原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立试一试一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,c＝17例题解析(2)a＝5,b＝3,c＝4分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：∵15

6、2＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形(3)a=1b=2c=_____________；下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15____;(2)a=13b=14c=15____;(4)a:b:c=3:4:5_____;是是不是是∠A=90°∠B=90°∠C=90°例题解析例2如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积5121334S四边形ABCD=24已知：如图，四边形ABC

7、D中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积?ABCDS四边形ABCD=36中考链接5121334例3如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，证明：AF⊥EF。证明：连接AE∴根据勾股定理，在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=25∴AD=AB=4，DF=FC=2，EC=1，BE=3∴AE2=EF2+AF2∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴∠AFE=90°，即AF

8、⊥EF如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点，F为BC上一点，且BF=3CF，求证：∠AEF=90º.AFEDBC应用拓展：例4如图：