27.2.3切线（5）

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1、切线长定理情境创设1、如下左图，点A在⊙O上，P是⊙O外一点，∠OAP是直角，PA是⊙O的切线吗？为什么？2、如何过⊙O外一点P作⊙O的切线，这样的切线能作几条？结论小结如右图所示切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。在下图中，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？1、图形是对称图形，该图形关于对称；2、PA=，=∠BPO轴直线OPPB∠APO你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗？证明：连接OA、OB∵PA、PB是⊙O的切线

2、∴PA⊥OA、PB⊥OB即△POA、△POB是直角三角形又∵OA=OB、OP=OP∴△POA≌△POB∴PA=PB、∠APO=∠BPO已知如图，P是⊙O外一点，连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，求证：PA=PB、∠APO=∠BPO结论小结如右图所示切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠1=∠2·OAB12符号表示例题教学如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.⌒⌒

3、（1）AD与BD是否相等？为什么？（2）OP与AB有怎样的位置关系？为什么？⌒⌒解：（1）AD=BD∵PA、PB是⊙O的切线∴∠PAO=∠PBO=90°∠APO=∠BPO∴∠AOD=∠BOD∴⌒⌒AD=BD（2）∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA=PB又∵∠APO=∠BPO∴OP⊥AB，AC=BC即OP垂直平分线段AB。切线长定理的基本图形的研究PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有

4、的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中相等的圆弧（5）写出图中所有的等腰三角形△ABP，△AOB（6）若PA=4、PD=2，求半径OA（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=PABCO60°（4）OP交⊙O于M，则，ＡＢＯＰＡＭ＝ＢＭ⌒⌒M⊥牛刀小试（3）若∠P=70°，则∠AOB=°110（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OAOA=31、过圆外一点可以作圆的____条切线，过圆上一点可以作圆的__

5、___条切线。2、如图，⊙O的半径是5，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=90°,则PA=____,PO=_____,AB=_____。3、如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D，若PA=6，⊙O的半径为2，则PC的长为_____，∠CPD=_____。（第2题）（第3题）2155√25√260°2√3。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点切线长定理为证明线段相等，角相等，弧

6、相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。大显身手如图，AB是⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD=CD。∴∠OBA+∠3=90°∵OB=OA∴∠OBA=∠A∴∠3+∠A=90°又∵OD⊥OA∴∠1+∠A=90°∴∠1=∠3又∵∠1=∠2∴∠2=∠3∴BD=CD解：连接OB，则OB⊥BD例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP∴

7、AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C·OPBDAE练习2：已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：AC∥OPPCAOBD挑战自我已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。（1）如左图，AB是直径，要使得EF是⊙O的切线，还要添加的条件可以是（只需写出

8、3种情况）：或或；（2）如右图，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B。求证：EF是⊙O的切线。1、如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，连结BC交AO于D.⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长；⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。C·OABD挑