27.2.3 切线（1）

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1、27.2.3切线问题1：下图中的直线l和⊙O是什么关系？相交相离相切（两个交点）（一个交点）（零个交点）d=r相切d∟问题2:如图，已知点A是⊙O上一点，过A作OA的垂线l，这样的直线有几条？直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？lAOdr特征一：直线l经过半径OA的外端点A特征二：直线l垂直于半径OAd=r相切切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端②垂直于这条半径。判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线

2、是圆的切线。2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。想一想已知：直线AB经过⊙O上的点，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。OABC例1C分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点C，若连结OC,则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥AB.例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。OABC证明：如图，连结OC.∵OA=OB,CA=CB∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线∴OC⊥AB∴AB是⊙O的

3、切线已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O，求证：⊙O与AC相切例2：DCABO∟分析:欲证直线与圆相切，但直线与圆的交点不明确时，往往过圆心作这条直线的垂线段，再证明d=r即可E证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果直线与圆的交点明确,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果直线与圆的交点不明确,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为

4、：作垂直,证半径。OBACOABCED练习1、如图1，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC2、如图2,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP图1图2证明：连结OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴∠PEC=90°∴∠OPE=∠PEC=90°∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，P

5、E⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。练习OABCEP课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

6、⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。是非题：判断下列命题是否正确。（×）（×）（√）（√）（√）已知△ABC内接于⊙O,直线EF过点A（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是或。（2）如图2，AB为非直径弦，且∠CAE=∠B,求证：EF为⊙O的切线。FECBAOCBEFAO思考题图1图2EF⊥AB∠CAE=∠B