2.3 平均值不等式选学 教学案 3

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1、2.3平均值不等式(选学)教学案3教学目标：（一）知识目标：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件.（二）能力目标：通过对均值不等式的推导过程，提高学生探究问题，分析与解决问题的能力。（三）情感目标:（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态，并形成勇于提出问题、分析问题的习惯。教学重点：不等式的证明过程。教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。教学方法：（一）教法：引导发现、数形结合、讲练结合。（

2、二）学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式，从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情．定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案．教学准备（教具）：直角板、圆规、小黑板或者投影仪（多媒体教室）教学过程：（一）情景引入：同学们，这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标（如图），大家想一想，你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗？提问1：该图中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？（图1）生答：

3、，．提问2：那4个直角三角形的面积和呢？生答：．提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，．什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有。从上面我们能得到不等式，对这种形式不等式。我们还有一个定理，这就是我们今天要研究的问题----均值不等式。（二）新课讲授（1）(板书)均值不等式：如果，，那么当且仅当a=b时，式中等号成立。引导学生利用不等式的性质推导．要证：………………………①即证：……………………………②要证②，只

4、要证：…………③要证③，只要证：（-）……④点评，强调取等条件；对任意两个正实数a　ｂ，叫做ａｂ的算术平均数，叫做ａｂ的几何平均数。２不等式的几何解释：令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和的两条线段，然后比较这两条线段的长具体作图如下（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,　　　　　　　　（2）以AB为直径作半圆O；（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C（4）连接AC，BC，CA，则　　如下图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图2）当a≠b时，OC>CD，即当a=b时

5、，OC=CD，即从上面我们能看到当其中ａ＋ｂ为定值时，有最大值。大家想知道为定值时ａ＋ｂ有什么情况吗？先让我们看下面的例子。例：一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？分析：矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；解：设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有xy=100(m2)，因为x>0，y>0，所以，因此，即2(x+y)≥40当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=10。答：当这个矩形的长与宽都是10m时，它的周长最短，最短周长是40m规

6、律：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。想必大家对不等式已经有了足够的认识。现在我们来看下面的练习：练习：已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？分析：矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。解：设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有2(x+y)=36，即x+y=18因为x>0，y>0，所以及将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，答：当这个矩形的长与宽都是

7、9m时，它的面积最大，最大值是81m2小结：（教师引导学生小结本节课所学的知识要点）知识：均值定理及其成立的条件，及其均值定理的应用方法：一正，二定，三相等。思想：类比和数形结合的思想。作业：基础题：课本第77页A组1.提高题：课本第77页A组3.4研究题：设正数a、b,试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．