2.3 平均值不等式选学 导学案 1

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1、2.3平均值不等式(选学)导学案1学习目标1.理解并掌握平均值不等式，会证明平均值不等式。2.会利用平均值不等式成立的条件（一正，二定，三相等）解决有关最值问题。教学过程〔温故知新〕问题1：预习，提问学生定理一以及满足的条件。+(a,b)。问题2：预习，提问学生平均值定理以及满足的条件。（a,b）其满足的条件是（一正、二定、三相等）。〔导学释疑〕问题1,请同学们讨论、尝试证明不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：a2＋b2－2ab＝（a－b）2当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0所以，（a－b）2≥0即

2、a2＋b2≥2ab问题2，请同学们讨论、尝试证明不等式，定理2（平均值不等式）：如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）证明：∵（a）2＋（b）2≥2ab∴a＋b≥2ab，即a＋b2≥ab显然，当且仅当a＝b时，a＋b2＝ab说明：1）我们称a＋b2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.〔巩固提高〕问题1，例

3、1已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2证明：因为x，y都是正数，所以x＋y2≥xy（1）积xy为定值P时，有x＋y2≥P∴x＋y≥2P上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P.（2）和x＋y为定值S时，有xy≤S2∴xy≤14S2上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值14S2.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须

4、是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。问题2，已知a、b、c、d都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由a、b、c、d都是正数，得ab＋cd2≥ab·cd＞0，ac＋bd2≥ac·bd＞0，∴（ab＋cd）（ac＋bd）4≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd【总结归纳】定理2（平均值不等式）：如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。其满足的条件是

5、（一正、二定、三相等）。（检测反馈）1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【拓展延伸】一般地，对n个正数(n)，我们把数值，分别称为这n个正数的算术平均值于几何平均值，且有。此式当且仅当a=时取“=”号。即n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。(学生小结)谈谈本节课有什么收获与困惑？