《1.3 平均值不等式》导学案

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1、《1.3平均值不等式》导学案课程目标引航1．掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用．2．理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用．3．会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题．基础知识梳理1．二元均值不等式(1)定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥____(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．(2)定理2：对任意两个正数a，b，有______≥(此式当且仅当a＝b时取“＝”号)．我们称______为正数a与b的算术平均值，______为正数a与b的几何平均值．定理2可叙述为：两个正数的__________不小于它

2、们的__________．【做一做1－1】函数y＝＋x(x＞3)的最小值是(　　)．A．5B．4C．3D．2【做一做1－2】“a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．三元均值不等式及其推广(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥____(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有≥(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”号)．定理4可叙述为：三个正数的__________不小于它们的__

3、________．(3)n个正数的算术几何平均不等式：一般地，对n个正数a1，a2，…，an(n≥2)，我们把数值______________，__________分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有______________≥，此式当且仅当____________时取“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的__________．【做一做2】设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1．求证：＋＋≥36．答案：1．(1)2ab　(2)　　　算术平均值　几何平均值【做一做1－1】A　原式变形为y＝＋x－3＋3

4、．∵x＞3，∴x－3＞0，∴＞0．∴y≥2＋3＝5．当且仅当x－3＝，即x＝4时等号成立．【做一做1－2】A　当a＞b＞0时，＞＝ab成立，当ab＜时，不能推出“a＞b＞0”，故选A．2．(1)3abc　(2)算术平均值　几何平均值(3)　　　a1＝a2＝…＝an　几何平均值【做一做2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x＋y＋z＝1，所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况．证明：＋＋＝＋＋＝14＋＋＋≥14＋4＋6＋12＝36．当且仅当＝，＝，＝，且x＋y＋z＝1，即x＝，y＝，z＝时取

5、等号．重点难点突破对定理1和定理2的理解剖析：(1)a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而≥不成立．(2)这两个不等式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话：①当a＝b时，取等号，其意义是a＝b⇒＝；②仅当a＝b时，取等号，其意义是＝⇒a＝b．综合起来，其意义是：a＝b是＝成立的充要条件．(3)从这两个不等式我们可以得到如下结论：＋≥2(ab＞0)；≤≤≤

6、(a＞0，b＞0)．(4)式子中的a，b可以是数字，也可以是复杂的代数式．典型例题领悟题型一　利用平均值不等式证明不等式【例1】若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：≥9．分析：本题是有条件的证明不等式问题，要巧用“x＋y＝1”来证明．反思：利用平均值不等式证明不等式时，要注意把握平均值不等式的结构特点，以便灵活地用于解题，另外，式子的灵活变形，进行拆项、凑项，也是常用的方法．题型二　利用平均值不等式求最值【例2】设x≥0，y≥0，x2＋＝1，求x的最大值．分析：利用x2＋＝1，将式子进行变形再利用定理进行求解．反思：

7、在解题过程中，要拼凑出和为定值，利用≤(a＞0，b＞0)来求解最大值．【例3】求函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值．分析：对于x(5－2x)2无法直接利用平均值不等式求最值，可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值．反思：利用a＋b＋c≥3应注意不等式成立的条件．在求最值时，除了注意“一正”、“二定”、“三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．题型三　利用平均值不等式解决实际问题【例4】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2m的无盖长方

8、体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为am，高为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y．由题意y与ab成反比，可设比例系数为k，则y