2019_2020学年高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式（选学）讲义新人教B版

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1、2.3　平均值不等式(选学)学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理　平均值不等式1．(平均值不等式)设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(推论1)设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.当n＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．

2、(推论2)设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数，则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.当n＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．2．任意给定n个正数，先求它们倒数的平均，然后再作这个平均值的倒数，称其为a1，a2，…，an的调和平均．(定理2)设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.3．(定理3)设a1，a2，…，an为正数，则≥≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(推论

3、3)设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)·≥n2.1．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是(　　)A．(－∞，lg6]　　　B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)[解析]　∵x，y，z为正数，∴xyz≤＝23.∴lgx＋lgy＋lgz＝lgxyz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．[答案]　B2．若a，b，c，d为正数，则＋＋＋的最小值为_____________.[解析]　由平均值不等式可得，＋

4、＋＋≥4＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．[答案]　4利用平均值不等式求最值【例1】　求函数y＝(x2－17)的最大值．[精彩点拨]　根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值．[自主解答]　根据平均值不等式＋＋(79－x2)≥3＝3，即y2≤623×.当且仅当＝79－x2，即x2＝时等号成立．这时ymax＝.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x，y，z∈且x＋y＋z＝3，求y＝＋＋的最大值．[解]　＋＋＝＋＋≤＋＋＝.∵x＋y＋z＝3，∴＝3，∴

5、＋＋≤3.故ymax＝3.利用平均值不等式证明不等式【例2】　若x>0，求证：>.[精彩点拨]　由于不等式右边为，故将左边拆项，利用不等式证明．[自主解答]　＝1＋即原不等式成立．在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．2．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)≥.[证明]　∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3，＋＋≥3，∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]≥3×3，即2(a＋b＋c)≥9，∴

6、(a＋b＋c)≥.平均值不等式的类型与应用条件[探究问题]试比较n个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系．[提示]　在课本中已讲过n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分别是An＝和Gn＝.此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到)Hn＝.平方平均(在统计学及误差分析中用到)Qn＝.这四个平均值有以下关系：Hn≤Gn≤An≤Qn.其中等号成立的充要条件都是a1＝a2＝…＝an.【例3】　设x1，x2，x3为正数，证明：＋＋≤＋＋.[精彩点拨]　不等式左右两边均为和式形式，

7、要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形．[自主解答]　＝··1≤，①＝··1≤，②＝··1≤，③1＝··≤.④上述不等式中，当且仅当x1＝x2＝x3时取“＝”号．①＋②＋③＋④得＋＋＋1≤[3·＋3＋3·＋3]，∴＋＋≤＋＋.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如可变为··1.3．已知a，b，c为正整数，且b＋c>a，c＋a>b，a＋b>c.求证：··≤1.[证明]　··＝··＝…·…·…≤＝1.即原不等式成立．1．设a1，a2，…，an为正数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为

8、(　　)A．P>Q　　　　　　B．P≥QC．P0时，y＝3x＋的最小值为(　　)A．B．3C．D．4[解析]　y＝3x＋＝＋＋≥3＝3＝.当且仅当x＝，即