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时间:2019-04-18
《2020版高考数学复习三角函数解三角形第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式习题理含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tanα;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:=tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinα-sin__α-sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα-cos__αcos__α-cos__αsin__α-sin__α
2、正切tanαtan__α-tan__α-tan__α口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限[微点提醒]1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;sinα=tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( )(2)六组诱导公式中的角α可以是
3、任意角.( )(3)若α∈R,则tanα=恒成立.( )(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.( )解析 (1)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sinα.(3)中当α的终边落在y轴上,商数关系不成立.(4)当k为奇数时,sinα=,当k为偶数时,sinα=-.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修4P21A12改编)已知tanα=-3,则cos2α-sin2α=( )A.B.-C.D.-解析 由同角三角函数关系得cos2α-sin2α====-.答案 B3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角,
4、且sinα=,则cos(π+α)=( )A.-B.C.-D.解析 因为α为锐角,所以cosα==,故cos(π+α)=-cosα=-.答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sinα-cosα=,则sin2α=( )A.-B.-C.D.解析 ∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α,∴sin2α=1-=-.答案 A5.(2019·济南质检)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα=( )A.B.-C.D.-解析 ∵sinα=-,α为第四象限角,∴cosα==,因此tanα==-.答案 D6.(2018·成都月考
5、)化简:=________.解析 原式===1.答案 1考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)(2018·兰州测试)已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα=( )A.-B.C.-D.(2)(2019·平顶山联考)已知=5,则cos2α+sin2α=( )A.B.-C.-3D.3解析 (1)∵<α<,∴cosα<0,sinα<0且cosα>sinα,∴cosα-sinα>0.又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,∴cosα-sinα=.(2)由=5得=5,可得tanα=2,则cos2α+s
6、in2α=cos2α+sinαcosα===.答案 (1)B (2)A规律方法 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.【训练1】(1)若3sinα+cosα=0,则的值为( )A.B.C.D.-2
7、(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.解析 (1)3sinα+cosα=0⇒cosα≠0⇒tanα=-,====.(2)由sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,两式平方相加,得2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,整理得sin(α+β)=-.答案 (1)A (2)-考点二 诱导公式的应用【例2】(1)(2019·衡水中学调研)若cos=,则cos(π-2α)=( )A.B.C.-D.-(2)设f(α)=(1+2sinα≠0),则f=______
8、__.解析 (1)由cos=,得sinα=.∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.(2)∵f(α
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