小六数学第6讲：加乘原理（教师版）——李寒松.docx

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1、第六讲加乘原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成，并且几类方法是互不影响的。在每一类方法中，又有几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。还有这样的一种情况就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有种不同方法，在第二类方法中有种不同方法……，在第n类方法中有种不同方法，那么完成这件任务共有种不同方法。乘法原理：如果完成一件任

2、务需要分成n个步骤进行，做第1步有种方法，做第2步有种方法……，做第n步有种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有种不同方法。1.加法原理和乘法原理是计数方法中常用的重要原理，在应用时要注意它们的区别。2.加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。3.乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积。例1：一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。问：①从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个盒子内各取一

3、个小球，有多少种不同的取法？分析：①“从两个盒子内任取一个小球”，则这个小球要么从第一个盒子中取，要么从第二个盒子中取，共有两类方法，所以应用加法原理。②“从两个盒子内各取一个小球”，可看成先从第一个盒子中取一个，再从第二个盒子中取一个，分两步完成，所以应用乘法原理。解：①从两个盒子中任取一个小球共有：5+9=14（种）不同的取法。②从两个盒子中各取一个小球共有：5×9=45（种）不同的取法。例2：从1到399的所有自然数中，不含有数字3的自然数有多少个？分析：从1到399的所有自然数可分成三类，即一位数、两位数、三位数。一位数中不含3的有8个，1、2、4、5、6、7、

4、8、9。两位数中，不含3的可以这样考虑：十位上不含3的有1、2、4、5、6、7、8、9共八种情况；个位上，不含3的有0、l、2、4、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数字，再取个位数字，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数字不含3。三位数中，小于400并且不含数字3的可以这样考虑：百位上不含3的有l、2这两种情况，十位上和个位上不含3的有0、1、2、4、5、6、7、8、9这九种情况。要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有2×9×9=162个数字不含3。解：在从1到399中，不含3的一位数有8个；不含

5、3的两位数有8×9=72个；不含3的三位数有2×9×9=162个。由加法原理，在从1到399中，共有：8+72+162=242（个）不含3的自然数。 例3:用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不同的颜色，每个区域染一种颜色。问：共有多少种不同的染色方法？  分析：由图1可知A与D、B与E不相邻，它们之间有同色和不同色两类变化。考虑当A、D染同色时，根据乘法原理。A与D中有5种染色方法，①若B与E同色，则B与E有4种染色方法，那么C有3种染色方法。因此有5×4×3=60（种）②若B与E不同色，那么B有4种染色方法，E有3种染色方法，C有2种染色方法。因此有5×4×

6、3×2=120（种）。当A、D染色不同时，A有5种染色方法，D有4种染色方法，①若B与E同色，则B与E有3种染色方法，那么C有2种染色方法。因此有5×4×3×2=120（种）②若B与E不同色，那么B有3种杂色方法，E有2种染色方法，C有1种染色方法。则有5×4×3×2×1=120（种）。再根据加法原理可知有多少种染色方法。解:当A、D染同色时，有：5×4×3+5×4×3×2=60+120=180（种）当A、D染色不同时，有：5×4×3×2+5×4×3×2×1=120+120=240（种）根据加法原理：180+240=420（种）答：共有420种不同的染色方法。  例4：

7、学校羽毛球队有12名男队员，10名女队员。（l）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多少种不同的搭配方法？（2）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，有多少种选法？分析：（l）组成男、女混合双打选手，先挑选男队员有12种方法，再挑选女队员有10种方法，根据乘法原理可求有多少种不同的搭配方法。（2）选一名运动员去领奖，从男队员中选有12种选法，从女队员中选有10种方法，根据加法原理可求有多少种选法。解：（1）根据乘法原理，组成男、女混合双打选手有：12×10=120（种）（2）根据加法原理，选一名