小六数学第21讲：数论综合（教师版）——李寒松.docx

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1、第二十一讲数论综合数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。基本公式1.已知b

2、c,a

3、c,则[a,b]

4、c,特别地，若(a,b)=1,则有ab

5、c。2.已知c

6、ab，(b,c)=1,则c

7、a。3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写

8、成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk（#)其中p1

9、，13等数整除的判别方法。7.平方数的总结：①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。9.周期性数字：abab=ab×1011.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。例1:将4个不同的数字排在一起，

10、可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。答案：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4

11、000之间，所以a=d+4；因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？答案：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入

12、手。5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？答案：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28。所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1，该数最大为875413。例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形

13、，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？答案：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。辗转相除示例：2002÷847=2…308求2个数的最大公约数，就用大数除以小数847÷308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数例5：一根木棍长

14、100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？答案：100能