小六数学第10讲：进制与进位（教师版）——李寒松.docx

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1、第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,

2、我们有n0=1。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。1.掌握进制之间的转换方法。2.能用进制互化的方法解题。例1:①________；②；③；④________；⑤若，则________．分析与解：①对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：；②可转化成十进制来计算：；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得；③本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制

3、下．统一到十进制比较适宜：；④十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整．原式；⑤若，则，经试验可得．例2:在几进制中有？分析与解：利用尾数分析来解决这个问题：由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12．所以，只能是6．例3:将二进制数(11010

4、.11)2化为十进制数为多少？分析与解：根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？分析与解：因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，……，放16克砝码认为是二进位

5、制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23＋22＋21＋20=(31)10，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出。所以共可以称出31种不同重量的物体。例5:在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少?分析与解：(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=

6、0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7。但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod7后，3+2c≡0。所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5。所以(abc)6=(552)6=5×62+5×6+2=212。这个三位数在十进制中为212。例6:试求(2-1)除以992的余数是多少?分析与解：我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幂来表达为2进制：(9

7、92)=(1111100000)2，(2-1)2=我们知道在2进制中一定能整除(1111100000)2，于是我们注意到，所以=因为能整除(1111100000)2，所以余数为(111111)2=2+24+23+22+21+1=63，所以原式的余数为63。例7:已知正整数的八进制表示为，那么在十进制下，除以7的余数与除以9的余数之和是多少？分析与解：与十进制相类似，有：．根据8进制的弃7法，被7除的余数等于其各位数字之和，为6，而除以7的余数为1，所以的平方被7除余1，即除以7的余数为1；另外，，显然能被整除，所以其平方也能被整除，即除以9的余数为0．因此两个余数

8、之和为．A