小六数学第18讲：因数与倍数（教师版）——李寒松.docx

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1、第十八讲因数与倍数因数与倍数因数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，就是在多个数之间去研究公因数和公倍数，经常地应用最大公因数与最小公倍数解题．下面我们就先回顾基本的概念：1.公因数与最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．例如：12的因数有1，2，3，4，6，12．18的因数有l，2，3，6，9，18那么它们的公因数有l，2，3，6；其中最大公因数为6．2.公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数．例如：

2、15的倍数有：15，30，45，60，75，90，105，120，…．10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70，80。90，…．那么它们的公倍数有30，60，90，…是有无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为30．3.互质的概念如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数互质．显然的，两个不同的质数一定互质．4.辗转相除法求最大公因数（辗转相除法）用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。　　解：∵4811=2×1981+849，　　1981=2×849+283，　　849=3×283，　　∴（4811，1981）=283。补充说明：如

3、果要求三个或更多的数的最大公因数，可以先求其中任意两个数的最大公因数，再求这个公因数与另外一个数的最大公因数，这样求下去，直至求得最后结果。1.最大公因数与最小公倍数性质1)分数的计算；2)约倍关系1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析：∵要求的数去除30、60、75都能整除，　　∴要求的数是30、60、75的公约数。　　又∵要求符合条件的最大的数，　　∴就是求30、60、75的最大公约数。解：∵　　（30，60，75）=5×3=15　　这

4、个数最大是15。例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。　　解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，　　∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析：∵要截成相等的小段，且无剩余，　　∴每段长度必是120、180和300的公约数。　　　又∵每段要尽可能长，　　∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.　　（12

5、0，180，300）=30×2=60　　∴每小段最长60厘米。　　120÷60+180÷60+300÷60　　=2＋3＋5=10（段）　　答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。例4：加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析：要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。　　　　［3，10，5］=5×3×2=3

6、0　　∴各道工序均应加130个零件。　　30÷3=10（人）　　30÷10=3（人）　　30÷5=6（人）　　答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5：一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析：由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。　　解：∵[2，3，4]=12　　∴参加会餐人数应是12的倍数。　　又∵12÷2+12÷3+12÷4　　=6+4+3=13（瓶），　　∴可见12个人要

7、用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。　　又∵65÷13=5，　　∴参加会餐的总人数应是12的5倍，　　12×5=60（人）。　　答：参加会餐的总人数是60人。例6：一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析：由题意可知，正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在

8、此，我们以例6为例介绍另一种求最大公约数的方法。　　对于例6，可做如下图解：　　从图中可知：在长2703厘米