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时间:2019-04-16
《小六数学第18讲:因数与倍数(教师版)——李寒松.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十八讲因数与倍数因数与倍数因数与倍数的关系很简单,其实就是整除关系的另外一种称谓;当然也有概念的延伸,就是在多个数之间去研究公因数和公倍数,经常地应用最大公因数与最小公倍数解题.下面我们就先回顾基本的概念:1.公因数与最大公因数几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数.例如:12的因数有1,2,3,4,6,12.18的因数有l,2,3,6,9,18那么它们的公因数有l,2,3,6;其中最大公因数为6.2.公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数.例如:
2、15的倍数有:15,30,45,60,75,90,105,120,….10的倍数有:10,20,30,40,50,60,70,80。90,….那么它们的公倍数有30,60,90,…是有无穷多个的;而最小公倍数却只有一个,为30.3.互质的概念如果两个数的最大公因数是1,那么这两个数互质.显然的,两个不同的质数一定互质.4.辗转相除法求最大公因数(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。 解:∵4811=2×1981+849, 1981=2×849+283, 849=3×283, ∴(4811,1981)=283。补充说明:如
3、果要求三个或更多的数的最大公因数,可以先求其中任意两个数的最大公因数,再求这个公因数与另外一个数的最大公因数,这样求下去,直至求得最后结果。1.最大公因数与最小公倍数性质1)分数的计算;2)约倍关系1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。例1:用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?分析:∵要求的数去除30、60、75都能整除, ∴要求的数是30、60、75的公约数。 又∵要求符合条件的最大的数, ∴就是求30、60、75的最大公约数。解:∵ (30,60,75)=5×3=15 这
4、个数最大是15。例2:一个数用3、4、5除都能整除,这个数最小是多少?分析由题意可知,要求的数是3、4、5的公倍数,且是最小的公倍数。 解:∵[3,4,5]=3×4×5=60, ∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。例3:有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米?一共可以截成多少段?分析:∵要截成相等的小段,且无剩余, ∴每段长度必是120、180和300的公约数。 又∵每段要尽可能长, ∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数. (12
5、0,180,300)=30×2=60 ∴每小段最长60厘米。 120÷60+180÷60+300÷60 =2+3+5=10(段) 答:每段最长60厘米,一共可以截成10段。例4:加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?分析:要使加工生产均衡,各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人,要先求3、10和5的最小公倍数。 [3,10,5]=5×3×2=3
6、0 ∴各道工序均应加130个零件。 30÷3=10(人) 30÷10=3(人) 30÷5=6(人) 答:第一道工序至少要分配10人,第二道工序至少要分配3人,第三道工序至少要分配6人。例5:一次会餐供有三种饮料.餐后统计,三种饮料共用了65瓶;平均每2个人饮用一瓶A饮料,每3人饮用一瓶B饮料,每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人?分析:由题意可知,参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。 解:∵[2,3,4]=12 ∴参加会餐人数应是12的倍数。 又∵12÷2+12÷3+12÷4 =6+4+3=13(瓶), ∴可见12个人要
7、用6瓶A饮料,4瓶B饮料,3瓶C饮料,共用13瓶饮料。 又∵65÷13=5, ∴参加会餐的总人数应是12的5倍, 12×5=60(人)。 答:参加会餐的总人数是60人。例6:一张长方形纸,长2703厘米,宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形,纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问:这样的正方形的边长是多少厘米?分析:由题意可知,正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校,我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数,但有时会遇到类似此题情况,两个数除了1以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办?在
8、此,我们以例6为例介绍另一种求最大公约数的方法。 对于例6,可做如下图解: 从图中可知:在长2703厘米
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