2018年高中数学 数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和学案新人教a版

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1、第1课时　等差数列的前n项和学习目标：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)．[自主预习·探新知]1．数列的前n项和的概念一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?[提示]　an＝2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？[提示]　S3＝＝3a2＝21.[

2、基础自测]1．思考辨析(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　)(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　)(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　提示：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为a1＝S1＝3，所以a1不满足an＝S

3、n－Sn－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________.　[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝.]3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.【导学号：91432163】24　[由S10＝＝120.解得a1＋a10＝24.]4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________.48　[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×

4、d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.][合作探究·攻重难]等差数列前n项和的有关计算　在等差数列{an}中，(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.【导学号：91432164】[解]　(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.∴n＝15，d＝－.(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.[规律方法]　a1，d

5、，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.[跟踪训练]1．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.[解]　(1)解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝＝＝＝340.an与Sn的关系的应用[探究问题]1．若数

6、列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？提示：使用条件是n≥2.2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2016＋a2017＋a2018如何用前n项和Sn表示？提示：a2016＋a2017＋a2018＝S2018－S2015.3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？提示：对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时

7、，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N*)来表示．　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.(1)求a1及an.(2)判断这个数列是否是等差数列.【导学号：91432165】思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．[解]　(1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12

8、－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，所以数列{an}是