2.3等差数列的前n项和（1）

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1、等差数列前n项和1一.复习回顾：等差数列性质：(1)通项公式:(2)(3)若，则等差数列的定义：(1)等差数列8，5，2，…，的第20项是；(2)已知{an}为等差数列，若a1=3，d=，an=21，则n=；-4913（3）在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=.-35复习巩固一、填空题：1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c互不相等，则为（）A.B.C.D.C2.已知等差数列{an}的公差d＝1，且a1+a2+a3+···+a98=137,那么a2+a4+a6+···+a98的值等于（）A.9

2、7B.95C.93D.91C1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c互不相等，则为（）A.B.C.D.复习巩固二、选择题：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现等差数列的前n项和德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个

3、问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？1+2+3+……+100=？高斯的算法是：首项与末项的和：第2项与倒数第2项的和:第3项与倒数第3项的和:第50项与倒数第50项的和:于是所求的和是：101×=5050……1+100=1012+99=1013+98=10150+51=101S=1+2+3+…+98+99+100S=100+99+98+…+3+2+1∴2S=(1+100)×100=10100∴S=5050.高斯Gauss.C.F（1777~1855）德国著名数学家问题3:求和:1+2+3+4+…+n=

4、?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。问题4：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an?解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…两式左右分别相加，得倒序相加S=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12

5、Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)d等差数列前n项和公式公式1公式2比较两个公式的异同:公式应用知三求二例之解:利用a1=a20=再根据在等差数列中,已知:,,求及.等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.760

6、4.5解：求和(1)1+3+5+···+(2n-1)例2：例题解析（1）原式==n2解：（2）－10,－6,－2,2,···,（4n-14)－10－6－2+2+···+（4n-14)（2）原式=注意在运用公式时，要看清等差数列的项数。例题解析例3：等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和多少？解：设题中的等差数列为{an}则a1=－10，能用公式（1）计算吗？应用公式时，要根据题目的具体条件，灵活选取这两个公式。d=4,n=9例题解析变式：等差数列－10，－6，－2，2，·······前多少项和是54？解:设题中的等

7、差数列为{an},得n2-6n-27=0故n1=9,n2=-3(舍去）。在等差数列的求和公式中，含有四个量，运用方程的思想，知三可求一.d=-4设Sn=54,则a1=-10,因此，等差数列－10，－6，－2，2·······前9项和是54。1.推导等差数列前n项和公式的方法三.小结2.公式的应用中的数学思想.-------倒序相加法--------方程思想练习一根据条件，求相应等差数列{an}的Sn:①a1=5,an=95,n=10;②a1=100,d=－2,n=50;答案：①500；②2550；练习二(2004.全国文)等

8、差数列的前项和记为.已知,.(1)求通项;(2)令,求.课堂小结等差数列前n项和公式在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法