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1、《概率论与数理统计》内容指导一、概率部分1．概率论的基本概念及预备知识随机现象，随机试验E，样本空间，样本点，随机事件A，基本事件{}必然事件，不可能事件，随机变量X，随机向量（X,Y）排列：从n个元素中任取m个元素的排列数：组合：从n个元素中任取m个元素的组合数：2．事件间的关系与运算规律相互关系：1°事件B包含A：AÌB（指事件A发生必导致B发生）A与B相等：A＝B（指AÌB且BÌA）2°A与B的和事件：A∪B（指A,B中至少有一个发生）A与B的直和：A＋B＝A∪B（A与B互不相容时）3°A与B的积事件：A∩B或AB（指A与B同时发
2、生），4°A与B的差事件：A－B＝（指A发生而B不发生）5°A与B互不相容或互斥：A∩B＝Æ．6°A的对立事件：＝U－A．运算规律：(1)交换律：A∪B＝B∪A,A∩B＝B∩A(2)结合律：A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C，A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C(3)分配律：A(B∪C)＝AB∪AC3．频率的定义与性质事件A发生的频率：（nA为n次试验中A发生的次数）频率的基本性质：1°（非负性）对于任一随机事件A，有fn(A)≥02°（规范性）对于必然事件，有fn()＝13°（有限可加性）若A1,A2,…,Ak两两互斥，则4．概率的定义与性质概
3、率的公理化定义：称实值函数P(A)为事件A的概率，如果P(A)满足下述公理：公理1（非负性）对于任一随机事件A，有P(A)≥0公理2（规范性）对于必然事件，有P()＝1公理3（完全可加性）对两两互不相容的事件A1,A2,…,有概率的基本性质：1°P(Æ)＝0；0≤P(A)≤1；2°（有限可加性）若A1,A2,…,Ak两两互斥，则3°若AÌB,则P(B－A)＝P(B)－P(A)，P(B)≥P(A)5．概率计算公式三种典型概率：古典概率计算公式几何概率计算公式条件概率计算公式加法定理：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)概率乘法定理
4、：P(AB)＝P(A)P(B
5、A)全概率公式：贝叶斯公式：6．等价定理等价定理1对事件A与B，下面四个命题等价(1)A与B相互独立；(2)A与相互独立；(3)B与相互独立；(4)与相互独立．等价定理2在时，下面四个命题等价(1)A与B相互独立(2)(3)(4)7．随机变量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度）分布函数：分布律：分布密度：（在f(x)的连续点）常用分布：1）．0-1分布（1次试验中A发生的次数为k，）2）．二项分布（n重伯努利试验中A发生的次数为k，）3）．泊松分布（时二项分布的逼近分布，）4）．均匀分布5）．指数分布6
6、）．正态分布（常用分布的分布律、分布密度、数学期望及方差见《概率统计》附表1）8．随机向量的概率分布（分布函数、分布律、分布密度）分布函数：联合分布函数：边缘分布函数：FX(x)＝P{X≤x}＝F(x,+¥)FY(y)＝P{Y≤y}＝F(+¥,y)分布律：联合分布律：P{X＝xi,Y＝yj}＝pij,i,j＝1,2,… 边缘分布律：条件分布律：分布密度：联合分布密度：（在f的连续点）边缘分布密度：条件分布密度：（在fX(x)大于0的连续点）（在fY(y)大于0的连续点）
7、9．构成分布函数、分布律、分布密度的充要条件F(x)为分布函数F(x)单调不减右连续且F(-¥)＝0，F(+¥)＝1F(x,y)为分布函数F(x,y)关于x和y均单调不减右连续且F(-∞,y)＝F(x,-∞)＝F(-∞,-∞)＝0,F(+∞,+∞)＝1pk为分布律pij为分布律f(x)为分布密度f(x,y)为分布密度10．连续型随机变量的性质1°连续型随机变量的分布函数必连续，但分布函数连续的随机变量未必是连续型的．2°一维（二维）连续型随机变量在任意一点（任意曲线上）取值的概率必为零．3°P{a＜X＜b}＝P{a≤X＜b}＝P{a＜X
8、≤b}＝P{a≤X≤b}＝F(b)－F(a)＝4°对平面区域G,有11．随机变量相互独立的等价定理随机变量相互独立的等价定理对于随机向量(X,Y),下面五个命题等价(1)X与Y相互独立；(2)所有可能的条件分布律与相应的边缘分布律一致或所有可能的条件分布密度与相应的边缘分布密度几乎处处相等．（几乎处处相等）（几乎处处相等）(3)或(4)对于任意二实数集S,T，有P{XÎS,YÎT}=P{XÎS}P{YÎT}(5)对于任意二实数x,y,有F(x,y)=FX(x)FY(y)12．随机变量函数的重要结论1）Y＝g(X)的分布函数FY(y)＝P
9、{Y≤y}＝P{g(X)≤y}2）Z＝g(X,Y)的分布函数FZ(z)＝P{Z≤z}＝P{g(X,Y)≤z}3）Z＝X＋Y的分布密度（当X与Y相互独立时）4）当X1,X2,…,Xn相互独立时，max(X1,
