高等代数教师教学案(北大)行列式计算方法

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1、行列式计算方法1.利用行列式的定义直接计算：适用于行列式中零比较多的情形．2.化行列式为三角形行列式——初等变换法1）保留某行（列）不动，将其它的行（列）分别乘上常数加到这一行（列）上。2）将某行（列）的倍数分别加到其它各行（列）3）逐行（列）相加4）加边法——在原行列式的边上增加一行一列，使行列式级数增加1，但值不变。例1计算行列式3.利用行列式展开定理。适用于某行（列）有较多零的行列式．4.其他方法（一）析因子法——利用多项式的性质例：计算解：由行列式定义知为的4次多项式．又，当时，1，2行相同，有，为D的根．当时

2、，3，4行相同，有为D的根．故有4个一次因式，设　令则　　，即，10/10（二）箭形行列式解：把所有的第列的倍加到第1列，得：可转为箭形行列式的行列式：（第2至第行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式10/10．（四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，可转为箭形行列式的行列式——加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1）2）解10/10：1)2)10/10（五）三角型行列式——递推公式法1）解：即有　　,or于是有　　同理有　即　

3、　（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出的值）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：10/10同理　而　　由以上两式解得（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）解：继续下去，可得（）1）也可以用加边法做：10/10，2）解：①②10/10，得　．（七）数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：证：当时，，结论成立．假设时结论成立，即，对，将按最后一列拆开，得所以时结论成立，故原命题得证．2）证明：证：时，，结论成立．假设时，结论成立．10/10

4、当时，按第行展开得由归纳假设于是时结论亦成立，原命题得证．（八）范德蒙行列式1）解：考察阶范德蒙行列式显然就是行列式中元素的余子式，即　　　　（为代数余子式）又由的表达式（及根与系数的关系）知，中的系数为即，　10/102）解：考虑级范德蒙行列式显然就是行列式中元素的余子式，即，由的表达式知，的系数为即10/10