线性代数a卷附标准答案评分(份)

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1、A卷2013—2014学年第二学期《线性代数》期末试卷答案及评分标准专业班级_____________________姓名_____________________学号_____________________开课系室应用数学系考试日期2014年6月8日题号一二三四五六七总分本题满分15151614161212本题得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废；5．本试卷正文共7页.第7页共7页本题满分15分本题得分一．填

2、空题（3分5=15分）1．=【】.2.设,设，则【】.3.设是矩阵，且，，则=【】.4.实数域上的元非齐次线性方程组的所有向量，对于通常的向量加法和数量乘法，【构成】（构成、不构成）上的一个线性空间.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。5．若为正定二次型，则的取值范围是【】.第7页共7页本题满分15分本题得分二.选择题（3分5=15分）1.已知4阶矩阵的第三列的元素依次为，它们的余子式的值分别为，则【A】.(A);(B);(C);(D).2.若向量组线性无关，线性相关，则【C】.(A)必可由线性表示；(B)必不可由线性表示；(C)必可由线性表示；(D)必不

3、可由线性表示.3.设是非齐次线性方程组的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是【B】.(A);(B);(C);(D).4.设为任意阶方阵，是其伴随矩阵，为常数（），则必有【B】.(A);(B);(C);(D).5.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为【B】.(A);(B);(C);(D).第7页共7页本题满分16分本题得分三.解下列各题（8分2=16分）1.计算行列式.解:=……………（2分）==……………………………（5分）==………………………............………………（8分）2.设和都是3阶方阵，若，求.解:由

4、得………………………………（4分）可逆.……………………………（6分）…………………………………….……（8分）第7页共7页本题满分14分本题得分四.（7分2=14分）1.蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养,但过量的脂肪摄入不利于健康.设三种食物（脱脂牛奶、大豆粉、乳清）每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如表1所示.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。表1三种食物的营养成分含量表营养每100克食物所含营养(克)每日需要的营养量(克)脱脂牛奶大豆粉乳清蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13请写出三种食品的组合所

5、满足的线性方程组，使得混合食物恰好能够提供每日所需的营养.解：设这三种食物的量为，（单位：100g）………………（1分）………………………….…………………（3分）………………………….……………………………（5分）…..………………………….…………………………（7分）2.设方阵满足方程，证明可逆，并求.证：由得即…………………（4分）故可逆并且…………………（7分）第7页共7页本题满分16分本题得分五.（8分2=16分）1.设有向量组(1)求此向量组的秩，并求一个最大无关组；(2)将其余向量用这个最大无关组线性表示.解：，….......

6、............………………（4分）故知（1）向量组的秩为2，…………………………（5分）是一个最大无关组；………………………...…（6分）（2）,………………...…………（8分）.2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组是线性无关的向量组.证：设有，使.……………………………（3分）不妨设向量为列向量，则以左乘上式两端，得.………………………（5分）因，故，从而必有……………（7分）于是，线性无关...........……………………（8分）第7页共7页本题满分12分本题得分六．（12分）设线性方程组，取何值时，此方程组（1）有

7、惟一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时，求其通解.解：……………………………（4分）（1）当且时，，方程组有惟一解；………（6分）（2）当时，，方程组无解；………………（8分）（3）当时，，方程组有无穷多解…………（10分）这时，则，令，得方程的通解为即，（）……………………………………（12分）第7页共7页本题满分12分本题得分七．（12分）已知二次型，求正交变换，将此二次型化成标准型，并写出此标准型.解：…………（2分）特征多项式：特征值为.…………………………………………………（4分）对于各个特征值，求特征向量时，解

8、得时， 解得时，解得……………（7分）是正交向量组，单位化后得………（9分）故所求正交变换矩阵,正交变换：…（10分）标准型为：…………………………………（12分）