完备李超代数若干结果

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1、摘要本文主要是在特征为零的代数闭域上对完备李超代数做了一些讨论．首先，讨论了可解完备李代数的结构；其次，构造了一类偶部完备的李超代数∥，并且讨论了∥及DerHf的完备性；最后，给出了一个判断李超代数完备的充分条件．关键词：可解，李超代数，完备．ABSTRACTInthispaperwemainlydiscusscompleteLiesuperalgebrasoveranalge-braicallyclosedfieldofcharacteristiczero．Firstly,wediscussstructuresofsolvablecompleteLiesuperalgebras；seco

2、ndly,weconstructakindofLiesuperalgebraH{inwhichitsevenpartisacompleteLiealgebra'anddiscussthecompletenessof／-／faswellasDer∥；finally’weprovidesufficientconditionsforaLiesuperalgebratobecomplete．Keywords：Solvable；Liesuperalgebra；Complete．冯铮铮硕士学位论文答辩委员会成员名单姓名职称单位备注古R鬲忸彩抬伴长、1而揉，大谁主席l’’o，一耍；黼最b’凇捣馋查、t懦

3、撬大弹＼’1磊兹堵画7极躺I-麻叁龃-A踅．’l’一华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果1引言完备群的概念出现于上世纪30年代，完备李代数的概念出现于40年代。四五十年代，一些著名的李群李代数学者都对这类代数进行过研究，并将完备群的一些重要结果移植到完备李代数上．除此之外，当时人们对完备李代数的重要性以及对其本身的认识都很有限，直N80年代，专门讨论完备李代数的论文仍是非常少的．从80年代后期完备李代数的研究逐渐趋于活泼，孟道骥、朱林生、姜翠波等对完备李代数的研究，使得完备李代数的研究在80年代后期取得了丰富的结果(参见[8】，【10]，[11]，【13】)．李超代数的研究起源于20

4、世纪70年代，由于它在物理学中的重要作用以及与其他数学分支有着深刻的联系，特别是与李代数有着紧密的联系，使得李超代数的发展十分迅速．仿照李代数，中心为零且导子均为内导子的李超代数称为完备李超代数，最近几年人们开始在完备李代数的基础上研究完备李超代数．李振亨在【19]中把完备李代数的分解及其唯一性推广到完备李超代数上，证明了有限维完备李超代数也可分解为单完备理想的直和且这种分解除次序外是唯一的．王立云和孟道骥在完备李超代数的研究上做了很多工作，把类似于完备李代数中的一些结论推广到完备李超代数上去．如【4】中给出了一个李超代数完备的判定定理以及通过Heisenberg超代数与半单李代数的扩张构

5、造了一类完备李超代数，在【6】中证明了极大秩可解李超代数是完备的等．虽然完备李超代数的理论更多的是建立在完备李代数理论的基础上的，但仍有很多完备李代数中的结论并不能直接推广到完备李超代数上去，如可解完备李超代数的结构是否有类似于可解完备李代数的结构等问题．本论文就是在以上这些结论的基础上继续对完备李超代数的性质与结构进行讨论的，主要考虑了如下内容：首先我们讨论了可解完备李超代数的结构，证明了可解完备李超代数不具有类似于可解完备李代数的结构，即可解完备李超代数不一定能分解成一个极大环面与一个极大阶化幂零理想之和；接下来我们从单李代数出发构造了一类完备李超代数，并说明了李超代数与它的偶部李代数

6、的完备性之间并没有直接的联系，即存在完备的李超代数其偶部李代数有可能是完备的也有可能是非完备的，也存在其偶部李代数完备或是不完备但本身不完备的非李代数的李超代数；文章的最后一部分给出了完备李超代数的一个判定定理。此华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果外，在本论文中我们假设所讨论的李超代数均是定义在特征为零的代数闭域F上的有限维李超代数．2华东师范大学硕士论文完备李超代数的若干结果2预备知识在这一节里，我们先来回顾一下李超代数中的一些相关概念和结果，所有的这些概念和结果均出卧2】，[18]，【19]，并且它们都是标准的．定义2．1设L是域F上的一个z2．阶化代数，则称L为一个超代数．定

7、义2．2设L=岛。白是域F上的一个超代数，(岛)胆是L的殇一b't化-t-空间．满足：L=0与，JEZ厶白￡上“弘Vf，J∈Z，则称L是Z．阶化的超代数．进一步，若岛=o锄；断=0锄+hj∈Zj忍则称L的z2．阶化和z．阶化是相容的．定义2．3设厶=o白是域F上的z-阶化超代数，对任意的_『∈z，X∈白，称工』包是L的．『次齐次元，记degx皇J．定义2．4设L=L-o断是域F上的超代数，若其上的乘法<，)满足：(A，B