小波框架和小波紧框架构造

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1、摘要小波框架与小波紧框架的构造刘志国摘要框架理论最初来源于信号处理，1952年，Duffin和Schaffer在研究非调和傅立叶级数时，提出了Hilben空间框架的概念。当小波理论蓬勃发展时Daubechies，Grossmann和Meyer把连续小波变换的理论与框架理论相结合定义了仿射框架(或称小波框架)。如今的框架已经广泛应用于小波分析、信号分析、图象处理、数值计算、Banach空间理论、Besov空间理论等理论和应用领域的研究。本文着重讨论了r(R)上小波框架理论，及小波紧框架的构造。本文中引用的结论大都

2、是此方面的经典结论或是最新的结论。他们代表了此领域的研究水平和发展方向。在此基础之上，本文作者推广了部分结果，同时也给出了一些新的结果。本文共分四部分。第～章是绪论，综述了小波分析的产生、发展和框架理论的产生、发展，另外，还简介了有关框架的对偶的理论。第二章介绍了框架的基本性质。框架是一类特殊的Bessel序列，框架是把Hilbert空间中的规范正交基满足的Parseval等式推广到比较一般的序列所满足的双边不等式的结果a由于weH，都有，=∑(<／，S。，)+q)，，因此说明了框架分解对噪声有一定的抵抗力，框

3、架的冗余性越大，则这种削减噪声的能力越强这里(cj)。∈R(r)1就是反映了噪声的数据。这正是研究框架性质的目的所在。第三章第一部分研究了if(R)上的小波框架的判定和性质。所谓小波框架是指，把～个函数妒∈r(R)通过伸缩变换(q。，n-∈z)和平移变换(乙，m∈z)后，得摘要到的序列如果构成r(R)的框架，则称(见。‰P)。。：是r(R)上的小波框架。对小波框架的判定是很困难的。函数妒首先须满足可允许性条件￡I庐(由)12H～do)

4、方法。第二部分列出了小波框架的对偶的一些结果。因为小波框架的对偶框架一般不是小波框架。本文认为文献中的充要条件的结论是很好的，故列出此结论。第四章证明了不存在满足插值性的小波紧框架。在满足一定的期望达到的性质下，首先设计一个低通滤波器，再利用不等式IP(z)J2+lP(一z)12≤1得到三个滤波器，从而得到小波紧框架。所得的高通滤波器中有一个满足对称性，一个满足反对称性。设计所得到的滤波器都含有一个自由参数，此参数的引入大大增加了选择余地。最后给出了滤波器的算法，并对长为4和6的小波紧框架给出了实例。关键词：框

5、架Bessel序列小波紧框架滤波器ⅡAbslraetWaveletframeandtheconstructionofwavelettightframeLiuZhiguoAbstractFametheoryderivesfromthesignalprocessing．In1952，DuffinandShafferintroducedtheconceptofframeforHilbertspacesinordertostudysomedeepprobleminnonharmonicFourierseries．Whe

6、nwavelettheoryisboomingDaubechies，GrossmanandMeyerconnectedcontinuouswavelettransformswithframestheoryandintroducedwaveletframes．Todayframestheoryhavebeenwidelyusedinwaveletanalysis，signalanalysis，imageprocessing，numericalanalysis，Banachspacestheory，etc．This

7、papermainlytalksaboutthetheoryofwaveletflameforff(R)andwavelettightframesconstruction．Theresultsthatarequotedinthispaperaremostlyclassicalconclusionsorthenewestconclusionswhichshowtheresearchlevelandthedevelopingdirection．Onthebasisoftheresults，thispapergene

8、ralizessomeresultsandgivessomenewresults．Thispaperiscomposedoffourparts：Thechapter1isanintroductionwhichsummarizestheemergence，developmentofwaveletanalysis，framestheoryandsimplyintroducesthedual