离散小波变换与框架.ppt

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1、一、离散小波变换在二进小波变换的基础上，进一步将平移参数离散化，就得到一个二维序列:此序列是离散小波系数，是连续小波系数的一个离散子集。在一般情况下，尺度参数a和平移参数b的离散化可令：其中a0、b0为常数，则分析小波变为：这样，连续小波变换就变为离散小波变换：(式3-1)(式3-2)(式3-3)其卷积型定义有：(式3-4)即：对于二进小波，令a0=2，b0=1．则有：(式3-5)(式3-6)对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。我们最为关切的问题：1.能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)?2.对于任意f(t)∈L2(R)，是否能表示为基函

2、数ψj,k(t)的线性组合？上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述，就是能否这样定义线性变换：使得其正反变换连续。首先．正变换是连续的，表明线性变换有界：即：其次．由反变换是连续的，可得：即：(式3-8)(式3-7)以上两式表明，将f(t)完全“特征化”意味着ψj,k(t)应满足：(式3-9)由此便引出了L2(R)空间的“框架”概念。二、框架1、框架定义定义3.1设,若对于一切，存在常数0﹤A≤B﹤∞,使得：则称函数序列为空间的一个框架。B、A分别称为此框架的上、下界．A＝B时称为

3、紧框架。(式3-10)若A=B=1,则为的正交基，则有：(式3-10)也称为稳定性条件。例3-1：设，则对于H中的任意向量，有：即：表明是R2空间的紧框架，但不是正交基，因为：线性相关。2、框架算子为便于讨论框架，引入框架算子。定义3.2：如果为H空间的一个框架，那么框架算子F定义为H空间向空间的映射，即：(式3-11)因为内积运算为线性运算，所以F为线性算子。由框架定义，可知F为有界线性算子，并且有逆算子存在。记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定义：，，则有：(式3-12)(式3-13)由F的定义可得：(式3-14)(式3-10)

4、可写成：令Id为H到H的单位算子，即：Idf=f，上式可写成：(式3-15)F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为(F*F)-1它必满足：(式3-16)因为：按伴随算子的定义，(F*F)应为自伴随算子，由此可得其逆算子(F*F)-1也为自伴随算子.证明：3、对偶框架(1)定义３.3:对于H空间中的一个框架，其算子为F，则定义：称为的对偶框架(共扼框架)。(式3-17)(2)对偶框架算子定理3.1设为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其框架算子为F，为其对偶框架,则也构成H空间的一个框架，其上、下界分别为A-1和B-1，其框架

5、算子满足：(式3-18a)(式3-18b)(式3-18c)(式3-18d)证明：由于(F*F)-1是自伴随算子，以上两式相等，有：(式3-18a)得证。由内积定义：(由伴随算子定义)利用式3-16，有：将以上两式合并，有：上式表明，是H空间的一个框架。记的伴随算子为：，则由：可得：则定理中(式3-18b)、(式3-18c)、(式3-18d)既可得证。(式3-19)(式3-20)由(式3-13)：同理：(式3-21)(式3-22)以上两式就是f的重构公式，由重构f需要求出框架φj的对偶：需要说明的是：正如前面所述，框架的各元素之间可能是

6、线性相关的。这样重构f的公式将不惟一。但当A＝B＝1时，，可以证明，这时的框架就构成一组正交基。则有：(式3-23)(3)对偶框架的计算重构f需要求出对偶框架，困难在于：必须计算(F*F)-1的值。在A＝B的紧框架条件下，容易得到：而在一般情况下，却只能采用近似计算或迭代计算的方法。令：(式3-24)则：(式3-25)再由(式3-15)、(式3-15)可知：(式3-26)(式3-27)若B充分接近A，则r<<1，所以

7、

8、R

9、

10、充分接近于0。(式3-25)中可忽略Rf项，则有近似公式：(式3-28)当r不满足还远小于1的条件时，由于

11、

12、R

13、

14、<1l

15、，仍可导出一个具有指数收敛于f的重构算法。由(式3-24)可得：则：(式3-29)(式3-29)中级数取N项，有：（将R表达式代入）(式3-30)最后得到迭代公式(式3-31)三、小波框架（本节定理证明参见《小波十讲》）现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)的问题上来。由框架理论可知，只要尺度和平移参数皆离散化的分析小波(即式3-2)构成L2(R)空间中的一个框架，则由(式3-3)得到的离散小波系数就可以完全稳定地重构f(t)。这时我们称为由母小波生成的小波框架。为使构成L2(R)空间的一个框架，框架界为A和B，母小波需满足以下必要条件

16、和充分条件。(1)必要条件(式3-32)(2)充分条件如果选择和a0，使：(式3-33)并且使：至少像一样快地衰减，那么存在b*>0,使