离散小波变换与框架（6）ppt培训课件

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1、离散小波变换与框架离散小波变换框架框架算子对偶框架自动化系---吴2011-3-291Waveletsanalysis离散小波变换许多应用中，特别是在信号处理中，数据用有限数目的值表示，所以重要的是考虑连续小波变换的离散情形。固定两个正参数。选取其中m,n取遍Z,而是固定的。记的离散小波变换为2框架框架是Duffin与Schaeffer(1952)在非调和Fourier级数的研究中引入的。框架与基底一样仍然是表示可分Hilbert空间元素的工具，不同的是框架中不要求元素的线性无关性。定义在Hilber

2、t空间H中的一个序列称为是一个框架，如果存在0

3、定理如果是一个紧框架，而框架界为1，并且如果对于所有成立，那么构成H的一个正交基。证明因对所有j,由(*)推出f=0,所以,{φj}张成H,下面验正正交，取，有因，这就推出对所有成立框架算子定义(框架算子)是H中一个框架，那么框架算子F是由H到的线性算子，Ff的分量定义为由框架定义得到，即框架算子是有界的。F的伴随算子，是这样计算的:由于所以，至少在较弱的意义下这时的伴随算子也是有界线性算子。7Waveletsanalysis框架算子(续)由F定义推出借助于F，框架条件能够再写为(A)其中Id是不变算

4、子。记，则T是H→H的有界线性算子，特别是式(A)隐含T是可逆的(若A=B,则B-1T＝Id,故T可逆)。由T的定义，对任何(**)算子T是H→H的框架算子。8框架中等价陈述是H中一序列,下述陈述等价(0

5、算子。那么(1)T是可逆的,且。还是正算子是T的一个框架,框架界为每个能表示为附注记,称是的对偶框架。容易验证，对偶框架是。还有10证明(1)T满足(B)由此得出，(若A=B,则B-1T＝Id,故T可逆)所以因此，是可逆的，因之相应的T可逆，即对(B)求逆得由于由此得是正算子,(T-1)*=T-1,因此是自伴随的。(2)因是自伴随的，有(C)gg证明(续)这给出或即或对右边使用(1)的结果得因此(3)在(**),(C)中，用,Tf代替f分别得例子:框架表示是”经济”的这是前边平面上用三个向量组成的紧框

6、架例子的继续。由前(#)知(1)在该例中，由于，由此下式成立(2)其中α是任意实数。注意系数的平方和如果α≠0这说明(1)式比(2)式更”经济”。因Sum(v,ej)=0框架表示”经济”定理定理假定是Hilbert空间H的一个框架,是由给出的对偶框架。如果使对于某个成立,并不是所有都等于,那么证明由于其中下面证明等式这个等式成立后，即证明了定理。14证明(续)注意把代入内积第一项中得=类似地，把代入内积第一项得再代入内积第二项，结果得到最后，使用上式得15由框架重构如果知道则由可得怎样由重构f。所以只

7、需计算。如果A,B彼此接近，即则框架T“接近”，并且“接近”。则有(a)其中，由上式，注意算子T的界因之。这就推出如果r是小的，在(a)中去掉余项Rf就得到f的一个重构公式。对误差为由(**)可得对偶框架的计算由前，因此，因为，级数按范数收敛，并且它的极限是。因此得出在前边的重构公式中，只使用R的零次项就恰好导致取掉余项的公式。现在，截取到N项，得到比较好的逼近其中这时17对偶框架计算的迭代法一种方法是迭代求取系数公式为表示而另一种方法是直接迭代18小波框架前边知道，为了由得到f的一个数值稳定的重构算

8、法，要求构成一个框架。在上边还知道，由重构f的算法中，框架界的比是重要的。要求构成一个框架已经强制ψ是容许的定理如果对于构成具有框架界A,B的一个框架，则19小波族构成框架的条件定理如果ψ和使并且对于某个ε和某个常数C成立，那么存在使对于任一形成的一个框架。并且，对于，框架界为20例子如果上述定理条件满足。Mexic帽小波是Gauss函数二阶导数形成的，规范化使

9、

10、ψ

11、

12、=1,则下面给出框架界:N=1=0.25A=13.091B=14.183比=1.08