傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换

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1、专业班级：10信息安全学生姓名：王猛涛学生学号：_20101616310049_指导教师：姚孝明完成时间：2021年9月15日二维离散傅里叶、余弦、小波变换9数字图像处理实验三：二维离散傅里叶、余弦、小波变换一、实验目的1.了解图像正变换和逆变换的原理。2.了解图像变换系数的特点。3.掌握常用图像变换的实现过程。4.掌握图像的频谱分析方法。5.了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。二、实验主要仪器设备1.微型计算机：IntelPentium及更高。2.MATLAB软件。三、实验原理二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式，MAT

2、LAB中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。1.二维离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）对于二维傅立叶变换，其离散形式如式（1）所示；逆变换公式如式（2）所示：（1）（2）频谱公式如式（3）所示：（3）由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按列进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果。显然对f(x,y)先按行进行离散傅立叶变换，再按列进行离散傅立叶变换也是可行

3、的，这里不再一一赘述。此外，在实际工程应用中分析幅度谱较多，习惯上也常把幅度谱称为频谱。使用DFT变换进行图像处理时，有如下特点：（1）频谱的直流成分为9，说明在频谱原点的傅里叶变换F（0,0）等于图像的平均灰度级。（2）幅度谱关于原点对称，即。（3）图像平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生变化。DFT是一种基本和重要的正交变换。为了提高计算效率，应用时往往采用二维FFT实现。而一般的正交变换图像经过对数变换后便于观察。MATLAB采用fft2和ifft2分别进行二维DFT变换和二维DFT逆变换，采用fftshift将直流分量移到频谱图的中

4、心以便观察。2.二维离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）对于二维余弦变换，其离散形式如式（4）所示，逆变换如式（5）所示：（4）式中，（5）在MATLAB中，采用dct2和idct2分别进行二维DCT变换和二维DCT逆变换。二维DCT常用于信号和图像处理，典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有损数据压缩。在静止图像编码标准JPEG、运动图像编码标准MJPEG和MPEG等标准中都使用了8*8块的离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。DCT具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性，而且当信号具有接

5、近马尔科夫过程（Markovprocesses）的统计特性时，DCT的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L变换（Karhunen-Loeve变换）的性能。另外，改进的离散余弦变换（ModifiedDiscreteCosineTransform，MDCT）对交叠的数据进行DCT，有助于避免由于区块边界所产生的多余数据，被用在高级音频编码（AdvancedAudioCoding，AAC）、OggVorbis、AC—3和MP3音频压缩中。3.二维离散小波变换（DDiscreteSpaceWaveletTransform，DDSWT）对于二维小波变

6、换，其离散形式如式（6）所示；逆变换如式（7）所示：（6）式中，和分别函数在轴上的，平移量。9（7）类似地，可以定义二维离散小波变换逼近，并采用Mallat二维快速算法求解。与DFT类似，可分离二维小波变换最终可转换为两次一维小波变换。对图像进行小波变换的MATLAB常用函数有：①对图像进行一层二维小波分解，常见形式为：[CA,CH,CV,CD]=dwt2（X,’wname’）式中，X为图像矩阵；’wname’是使用的小波基函数名称，如可选择双正交样条小波基函数，形式为biorNr.Nd。②查询使用的小波基函数的信息，使用形式为：Wavein

7、fo(‘wname’)式中，小波基名称’wname’可选用’haar’（哈尔小波）、’db’（Daubechies小波）、’bior’（双正交样条小波）等。例如，在命令行状态下键入wavainfo(‘bior’)进行查询双正交样条小波，可知r表示reconstruction（重建），d表示decomposition（分解），N表示相应FIR滤波器的阶数；CA、CH、CV、CD分别是输入矩阵X小波分解的近似系数矩阵、水平细节系数、垂直细节系数和对角线细节系数。③对二维小波分解的图像进行各种分量的重构，常见函数形式为：Y=upcoef2(O,X,

8、’wname’,N)式中，X是分解后的细节信号，Y是重构的细节信号分量；N表示对矩阵X的系数进行重建的步骤数，即重构的层数，默认值为1。O是细节信号的类型。如果O=