最新离散小波变换与框架PPT课件.ppt

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1、离散小波变换与框架其卷积型定义有：(式3-4)即：对于二进小波，令a0=2，b0=1．则有：(式3-5)(式3-6)对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。我们最为关切的问题：1.能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)?2.对于任意f(t)∈L2(R)，是否能表示为基函数ψj,k(t)的线性组合？上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述，就是能否这样定义线性变换：使得其正反变换连续。首先．正变换是连续的，表明线性变换有界：即：其次．由反变换是连续的，可得：即：(式3-8)(式3

2、-7)以上两式表明，将f(t)完全“特征化”意味着ψj,k(t)应满足：(式3-9)由此便引出了L2(R)空间的“框架”概念。由F的定义可得：(式3-14)(式3-10)可写成：令Id为H到H的单位算子，即：Idf=f，上式可写成：(式3-15)F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为(F*F)-1它必满足：(式3-16)因为：按伴随算子的定义，(F*F)应为自伴随算子，由此可得其逆算子(F*F)-1也为自伴随算子.证明：3、对偶框架(1)定义３.3:对于H空间中的一个框架，其算子为F，则定义：称为的对偶框架(共扼框架)。(

3、式3-17)(2)对偶框架算子定理3.1设为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其框架算子为F，为其对偶框架,则也构成H空间的一个框架，其上、下界分别为A-1和B-1，其框架算子满足：(式3-18a)(式3-18b)(式3-18c)(式3-18d)证明：由于(F*F)-1是自伴随算子，以上两式相等，有：(式3-18a)得证。由内积定义：(由伴随算子定义)利用式3-16，有：将以上两式合并，有：上式表明，是H空间的一个框架。记的伴随算子为：，则由：可得：则定理中(式3-18b)、(式3-18c)、(式3-18d)既可得证。(式3-19)(式3-

4、20)由(式3-13)：同理：(式3-21)(式3-22)以上两式就是f的重构公式，由重构f需要求出框架φj的对偶：需要说明的是：正如前面所述，框架的各元素之间可能是线性相关的。这样重构f的公式将不惟一。但当A＝B＝1时，，可以证明，这时的框架就构成一组正交基。则有：(式3-23)(3)对偶框架的计算重构f需要求出对偶框架，困难在于：必须计算(F*F)-1的值。在A＝B的紧框架条件下，容易得到：而在一般情况下，却只能采用近似计算或迭代计算的方法。令：(式3-24)则：(式3-25)再由(式3-15)、(式3-15)可知：(式3-2

5、6)(式3-27)若B充分接近A，则r<<1，所以

6、

7、R

8、

9、充分接近于0。(式3-25)中可忽略Rf项，则有近似公式：(式3-28)当r不满足还远小于1的条件时，由于

10、

11、R

12、

13、<1l，仍可导出一个具有指数收敛于f的重构算法。由(式3-24)可得：则：(式3-29)(式3-29)中级数取N项，有：（将R表达式代入）(式3-30)最后得到迭代公式(式3-31)三、小波框架（本节定理证明参见《小波十讲》）现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)的问题上来。由框架理论可知，只要尺度和平移参数皆离散化的分析小波(即式3-2)构成L2(R)空间中

14、的一个框架，则由(式3-3)得到的离散小波系数就可以完全稳定地重构f(t)。这时我们称为由母小波生成的小波框架。为使构成L2(R)空间的一个框架，框架界为A和B，母小波需满足以下必要条件和充分条件。(1)必要条件(式3-32)(2)充分条件如果选择和a0，使：(式3-33)并且使：至少像一样快地衰减，那么存在b*>0,使得对于所有，构成一个框架，这时，框架界为：(式3-34)上述关于小波框架对母小波的约束条件，在实际计算中往往很简单。只要选择的母小波在时域和频域上都有适当的衰减，那么一定存在a0和b0的某个取值范围，使构成小波框架。事实上，只

15、要：则充分条件的要求将得到满足。(式3-35)按框架理论，由离散小波系数重构f(t)必须利用小波框架的对偶框架，即:(式3-37)(式3-36)因为现在小波框架为二维序列，所以计算量是很大的。在实际计算中经常用的方法之一是：通过a0、b0的选取使的框架上、下界B、A尽量接近，这样就可以按下式重构:(式3-38)其重构误差决定于B/A，也决定于a0,b0。四、Riesz基利用小波框架，可以实现离散小波变换的反变换，只要求出小波框架的对偶框架。在A=B=1时，变为一组正交基，这时小波系数间是不相关的。但在一般情况下，小波系数间仍保存相关性。则：(

16、式3-39)上式说明，只要与正交，即：(式3-40)Cj,k就是线性无关的，这时，小波框架也是线性无关的，否则，Cj,k就是线性相关的，小波框架也是线性相关的，小波