3.4离散小波变换

《3.4离散小波变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章小波变换3.4离散小波变换（DWT,discretewavelettransform）由小波变换的反演公式+∞+∞11f()t=Wab(,)ψ()tdbda∫∫2fab,Caψ0−∞可知，信号f(t)可以由它的小波变换Wabf(,)精确重建。或者说，函数是按“基”ψab,()t的分解，系数就是小波变换，但是这里基的参数(,)ab是连续变化的，所以这些基ψab,()t之间不是线性无关的，它们之间是有“冗余的”（redundant），这就导致了各点小波变换Wabf(,)之间有相关性。要消去各点小波变换之间的关联，需要在函数族{ψab,()t}中寻找

2、相互正交的基函数，通过将ψab,()t中的参数(,)ab离散化可能解决问题，也就是说，将小波基函数ψab,()t的参数(,)ab限制在一些离散点上取值。但是，注意，离散小波变换只是把参数(,)ab离散化，并没有将待分析信号f(t)和分析小波ψ()t的时间变量t离散化。ab,3.4.1参数的离散化¢尺度参数a的离散化通常取jaa=±0,j=0,1,2,...±a0>1,对应小波：1第3章小波变换1⎛⎞tb−−j−jψψ⎜⎟=−aa2()()tbj00aja0⎝⎠0¢位移参数b的离散化对于j=0，考虑一个合适的bRR0∈(为实数集），使得ψ()tkbk−

3、=0,0,1±,...能覆盖整个时间轴且信息不会丢失。j对于其它尺度a0,j=1,2,...±±下的小波函数j−2−jaa00ψ((t−b))，因为在它时间轴上的宽度是小波母函数ψ()t的jja倍，因此采样间隔可以扩大a倍而不会引起信息丢失，这时位移00j参数取为bab=00。如下得离散化后且不会损失信息的小波函数：j1⎛⎞tkab−−j−002jψψ⎜⎟j=aa000()t−∈kbj,,kZaja0⎝⎠0调整时间轴使得kb0化为整数k，于是离散后的小波函数为j−−jψψ()ta=−2()atk,,jkZ∈jk,00¢离散小波变换的定义若2，（2为ψ

4、()tLR∈()L(R)ψ()t的矢量空间，R为实数集），j−2−ja0>1,ψψjk,00()ta=()atk−,,jkZ∈，则定义：Wjkftfj(),,==()ψψ,k(t)∫ft()jk,(td)tR为f(t)的离散小波变换。离散小波变换是尺度－位移平面的离散点上的函数，（这些点是2第3章小波变换规则分布的），与连续小波变换比较少了许多点上的值，自然会引起以下的问题：1）离散小波变换Wjkf(,)是否包含了函数f(t)的全部信息？就是说，能否由Wjkf(,)重构原函数f(t)；2）是否任意函数都能以ψjk,(t)为基表示出来，即有f()tC=

5、∑jk,,ψjk()t，如果可以，Cjk,=?jkZ,∈下面需要引入框架的0概念来回答这两个问题。3.4.2小波框架和Reisz基引入基底和框架的概念，用于研究一个函数空间中的无穷多个元素之间的关系或求其表达式。¢小波框架Frame由小波函数构成函数空间的框架称为小波框架。其定义为设ψ()t是小波母函数，则j−−jψψ()ta=−2()atkj,,k∈Z，jk,002若对于任何f()tLR∈()，有+∞222Af≤∑f,,ψjk,≤Bf0<≤<+AB∞（1）t=−∞+∞22ψtwheref()tf=∫()tdt，则称{jk,()}j,kZ∈构成了一个

6、小波框架。−∞从物理上说，上式描述了信号f()t在变换后能量的稳定性。常数B<+∞保证了变换ff→{,ψ}是连续的，而A>0保证了变换是可逆jk,的。3第3章小波变换¢Reisz基ARieszbasisisaframewhosevectorsarelinearlyindependent.若{ψjk,()t}还是线性无关的，即当∑Ctjk,,ψjk()=0时，必j,kZ∈jkZ,∈有Cjk,=0，则称{ψjk,()t}j,kZ∈为Reisz基。下面用满足框架条件的离散小波变换Wjkftfj(,,)=()ψ,k(t)来讨论f(t)的重构问题。ß紧框架（t

7、ightframe）若A==B1时，有f()tW=∑fj(j,(kt)ψ,k)=∑f,ψψjk,,jk(t)（2）jk,jk,小波框架是小波正交基。22+∞2证：因为此时AffB≤≤∑,ψjk,f变成t=−∞22f()tf=∑,(ψjk,t)jkZ,∈这样{ψjk,(t)}就构成H的一个标准正交基（或规范正交基），所以jkZ,∈f()tC=∑jk,,ψjk()t，ft(),,ψψmn,,=∑Cjkjk,ψmn,，jk,jk,当(j,,km)≠(n),ψψjk,,,0mn=。所以Cfmn,=(t),(ψmn,t)，于是就得（2）式。证毕。若A=≠B1时

8、，有−1f()tAf=∑,ψψjk,,jk(t)（3）jk,这里已经从前面得出了。4第3章小波变换ß几乎紧框