小波构造综述

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1、2004年第28卷石油大学学报(自然科学版)Vol.28No.1第1期JournaloftheUniversityofPetroleum,ChinaFeb.2004文章编号:100025870(2004)0120127205综述小波构造综述12耿艳峰,冯叔初(1.石油大学信息与控制工程学院,山东东营257061;2.石油大学储运与建筑工程学院,山东东营257061)摘要:小波函数的构造是小波理论分析与应用研究的基础,不同的小波函数具有不同的光滑性、消失矩、对称性等性能指标。如何根据所处理的信号特征构造或者选择最佳的小

2、波函数、提高信号处理的效率与质量是小波理论与应用研究的目的。文章从小波构造的角度论述了小波理论的发展历程,着重论述了几种有代表性的小波构造方法、实现原理及其最新研究进展,并用MATLAB语言给出了相应的尺度函数与小波函数图形。关键词:小波分析;小波构造;尺度函数;小波函数;提升格式;理论研究进展中图分类号:TN911文献标识码:A-j/2-j小波变换是由数学家、物理学家和工程师分别{ψj,k(x)=2ψ(2x-k),j,k∈Z}的伸缩与独立地提出与应用相似的概念以后,共同融合发展2[3]平移构成了L(R)的规范正交基

3、。如何才能构造起来的一种数据、函数或者算子的时频尺度变换工出这样的小波基函数ψ正是笔者讨论的内容。[1]具。小波分析以其独特的时频局部化特性,在信1小波构造的发展过程号处理、图像压缩与传输、量子场论、地震勘探、流体湍流等领域有广阔的应用前景。作为小波研究的一20世纪前半叶的Harr和Littlewood2Raley分析个重要方向──小波构造研究,对小波理论与应用以及20世纪70年代的Calderon表示定理和Hardy研究有着深刻的影响。空间的原子分解与无条件基等数学理论为小波分析小波分析思想源于如何用一簇函数空间的

4、标准[4]的诞生作了理论上的准备。[2]正交基来刻划该函数空间内的任意函数。其理1982年,Stromberg首先构造了一个很接近现论基础是Furier变换(FT),FT的本质就是将一个在小波基的基函数,并给出了基函数的伸缩与平移相当任意的函数f(x)表示为一簇标准三角函数系表达式;20世纪80年代初,地球物理学家Morlet最{exp(iω‰x)ω‰∈R}的加权求和,从而使得对原来早在地震信号分析中使用了小波;随后法国数学家函数f(x)的研究能够转换为对其FT权系数的研Meyer于1986年构造出了具有一定衰减性质

5、的光滑究。经典的FT由于在时空域中没有任何分辨,或者2函数ψ,它的二进伸缩与平移系构成了L(R)的规说函数f(x)的FT结果^f(ω)在任何有限频段上的范正交基,紧接着Meyer又与Mallat合作提出了多信息都不足以确定任意小时空范围内f(x)的特分辨分析(MRA)理论,统一了在此之前的许多小波性;反之,如果一个信号在某个时刻的一个任意小的构造方法;Mallat还给出了小波分解与重构快速算[4]邻域中发生了变化,那么整个频谱就要受到影响。为法;Daubechies于1988年在MRA框架下,从信号此,Gabor于1

6、946年引入了加窗FT,一定程度上解分析的角度出发构造出了光滑的、具有有限支撑的决了经典FT的缺陷,但是加窗FT在整个频域内具正交小波──DB小波,DB小波对应滤波器的脉冲有相同的分辨率,限制了其对非平常的高频和低频响应只有有限个系数不为零,又是正交的,使用信号的应用;20世纪80年代初出现的小波分析从根Mallat算法特别方便,从而获得广泛应用;1990年崔本上解决了经典FT的缺陷。小波分析本质上也是锦泰和王建忠构造出了基于样条函数的单正交小波[5]将对函数f(x)的研究转换为对小波分解系数的研基──样条小波,因为

7、该小波具有显式的数学表究,所不同的是FT的基函数{exp(iω‰x)ω‰∈R}可达式,非常适合于计算机编程处理,也获得了广泛应2以认为是空间L(2π)的正交基,而小波基函数用。然而这两类小波变换对应的滤波器都不具有线收稿日期:2003204211基金项目:中国石油天然气集团公司创新基金资助项目(W030501)作者简介:耿艳峰(1969-),男(汉族),山西中阳人,副教授,博士研究生,从事油气储运与多相流检测技术及数字信号处理技术的研究。·821·石油大学学报(自然科学版)2004年2月性相位特性,在某些领域如图像处

8、理与压缩等方面式与Haar小波尺度函数的时域形式类似。两类小波应用时效果不够理想,为此,Cohen等人又构造出光的尺度函数φ(t)与小波函数ψ(t)的表达式如下:[2]滑的、对称的、具有线性相位的滤波器。sin(πt)φShannon(t)=.πt近年来,Swelden等人又提出了采用提升格[6]sin[π(t-1/2)]-sin[2π(t-1