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1、中国科学(A辑)第30卷第8期SCIENCEINCHINA(SeriesA)2000年8月3量子三体问题马中骐(中国科学院高能物理研究所,北京100039)摘要提出一种处理量子三体问题的方案,它能把质心平动自由度和系统转动自由度完全地与内部自由度分离开来,从而把三体问题的SchrÊdinger方程简化为只依赖于3个内部变量的联立偏微分方程组.对于任意给定的总轨道角动量l和宇称l+λ(-1)(λ=0或1),这方程组包含的方程数目是l+1-λ个.进一步可以把波函数按一组正交完备的函数基展开,以二体Coul
2、omb作用为例,具体导出了波函数展开级数中的系数所满足的联立线性代数方程组.所有的推导都没有引进任何近似,计算误差主要来自数值计算中无穷级数的截断.关键词量子三体问题SchrÊdinger方程转动自由度的分离早在1935年,Zernike和Brinkman就引入超球谐函数方法处理量子三体问题,以后[1,2][3,4]Delves和Smith发展了这一方法,并用来研究原子和核理论中的三体问题.近20年来,[5,6]超球谐函数方法已成为研究少体问题的最重要工具之一.对N体系统,用Jacobi坐标的方法分离
3、质心的平动自由度后,SchrÊdinger方程包含3N-3个变量,超球谐函数方法把这些变量分为长度量纲的超半径ρ和无量纲的3N-4个超角变量,后者统称为Ω.由于角变量的周期性质,波函数可分解为关于正交函数基的离散和,这函数基称为超球谐函数Yκμ(Ω),Ψ(ρ,Ω)=∑<κμ(ρ)Yκμ(Ω),κμ于是SchrÊdinger方程简化为关于超半径ρ的无穷联立常微分方程组κTρ+ρ2-E<κμ(ρ)=-∑〈Yκμ(Ω)
4、V
5、Yκ′ν(Ω)〉<κ′ν(ρ),κ′ν2ΛYκμ(Ω)=κYκμ(Ω),22其中κ是
6、所谓广义角动量算符Λ的本征值,Λ依赖于所有3N-4个角变量Ω,μ是可能有的其他量子数,例如分角动量量子数.[5～7]从评述文章所列举的大量文献中可以看到,超球谐函数方法已经被广泛用来研究分子、原子和核的性质.特别对双电子原子系统(例如氦原子),能级的实验测量精度已经达到9[8～12]位有效数字,同时在引进成百上千个变分参数后,变分法对能级的计算精度也宣称可以达到12位有效数字(见文献[13]),但人们仍有许多理由更倾向于直接求解三体问题的1999211216收稿,2000203202收修改稿3国家科学
7、技术委员会“攀登”计划、国家自然科学基金(批准号:19947002)和中国科学院基金(LWTZ21298)资助项目第8期马中骐:量子三体问题747SchrÊdinger方程,理由之一就是变分法所选用的变分函数的结构有很大的任意性,特别是在对变分能量贡献比较小的空间区域.人们很早就认识到,简单的超球谐函数方法精度较差,因此近年的努力集中在如何改进级数的收敛性,克服简单超球谐函数方法的固有缺点,使计[14～20]算精度达到可与变分法相比拟的程度.例如使用关连函数的超球谐函数方法,把波函数分解为两部分的乘积
8、,其中一部分集中反映势函数的尖角,粒子的成团或远离的特征,以[21～25]加快作为另一部分的超球谐函数展开式的收敛性.超球谐坐标方法引入超球谐分道函数(hypersphericalchannelfunctions),在超球谐紧耦合方程的数值积分计算中应用diabatic2by2[26]sector方法.在势超球谐方法中用选择优化态子集的方法以减少超球谐函数的简并性.在[27]Fock展开法中引入对ρ和lnρ的双重求和,并把Fock级数解的组合在衔接半径处与关于[28,29][30]超球谐函数的级数解相
9、衔接.复坐标转动法和R2矩阵法被用来计算氦原子双激发P[31]波共振态和极化效应.Wannier阈理论被应用到双电子系统的P波和D波态的计算.还有[32]运用高维空间转动方法处理少体问题等.在文献中还可以找到更多的改进方案.但是,在本文中我们关心的是涉及超球谐函数方法的一个基本问题的改进,就是如何把转动自由度完全地与内部自由度分离的问题.对量子三体问题来说,分离了质心平动自由度后,存在两个Jacobi坐标矢量,一个矢量x=(rx,θx,φx)描写第1个粒子相对其他两个粒子质心的运动,另一个矢量y=(r
10、y,θy,φy)描写后两个[22～24]粒子间的相对运动.对氦原子来说,也有些作者假定氦核的质量是无穷大,直接用两个电子的坐标矢量代替Jacobi坐标矢量.超球谐函数方法又把这6个变量分为超半径ρ和超角变量Ω.简略地说,在已发表的有关超球谐函数方法的文章中,大致有两种定义超角变量的[16,27～29,32][18,19,31]方案,一种是选择角度θx,φx,θy,φy和ω=arctan(ry/rx),另一种则选ω,θ=arccos[x·y/(rxry)]
