一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性

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1、华南师范大学学报(自然科学版)2010年5月JOURNALOFSOUTHCHINANORMALUNIVERSITY2010年第2期





















May2010(NATURALSCIENCEEDITION)
No.2,2010文章编号:1000-5463(2010)02-0027-05一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性宋利梅(嘉应学院数学学院,广东梅州514015)摘要:利用k
集压缩算子的抽象连续性定理,讨论了一类二阶非线性中立型微分方程周期解的存在性,得到周期解存在的充分条件.关键词:中立型微分方程;周期解;k
集压缩算子中图分类号:O175

2、.14


文献标志码:A(t,x,y),t!(t)<1,T>0为常数.1
引言与预备知识[3]定义1
设X是一个实Banach空间,S是X的有界子集,令众所周知,在大量的自然和社会活动中,时滞现X(S)=inf{>0:S可表示为有限个集的并:象几乎都是不可避免的.所以对时滞微分方程的研m
S=∃Si,使每个Si的直径diamX(Si)%},(4)i=1究受到广泛的关注.随着泛函微分方程应用的不断则称X(S)为S的非紧性测度或Kuratowski距离.推广及理论研究的逐渐深入,近年来时滞微分方程[3]定义2
设X,Y均是实Banach空间,DX,周期解的存在性问题的研究也非常

3、活跃,并有了一些很好的研究成果[1-4].如王根强和燕居让[1]利用算子N:D&Y连续、有界,如果存在常数k∀0,使对任何有界集SD,都有Y(N(S))%kX(S),则称重合度理论研究了一类二阶非线性中立型方程N是D上的k
集压缩映射.[x(t)+cx(t-t)]+g(t,x(t-
))=p(t)(1)如果L:DomLX&Y是指标为零的Fredholm的周期解存在性问题,其中c,t,
均为常数.朱艳[2]算子,由文献[4]可以知道,对任何有界集BDomL,玲和鲁世平利用重合度理论研究了一类变时滞微分方程sup{!>0:!X(B)%Y(L(B))}是存在的,因而可[x(

4、t)-cx(t-
)]+g(t,x(t-t(t)))=p(t)(2)以定义È周期解的存在性问题,其中c,
为常数,t(t)为Rl(L)=sup{!>0:!X(B)%Y(L(B)),上连续T周期函数.显然,方程(1)是方程(2)当

对任何有界集BDomL}.(5)[5]t(t)退化为常数时的特殊情况.上述方程的共同特引理1
设L:DomLX&Y是指标为零的点是方程非线性项不含x导数项.本文将利用k
集线性Fredholm算子,yY是一固定点.假设N:∀&压缩算子的抽象连续性定理及一些分析技巧研究以Y是k
集压缩映射,k

5、中立型微分方程周期解0∀对称的开子集,并且满足:的存在性问题(R1)Lx∋lNx+ly,x#∀,l(0,1);
[x(t)-cx(t-r)]=(R2)[QN(x)+Qy,x]([QN(-x)+Qy,x]<0,
f(t,x(t-t(t)),x!(t-t(t)))+p(t),(3)xKerL)#∀,1È其中r,c是常数,r∀0,

6、c

7、<1,t(t)C(R,R),其中[(,(]是Y#X上的某个双线性泛函,Q是2Èp(t)C(R,R),f(t,x,y)C(R#R,R),且投影算子,Q:Y&Y/ImL.那么,存在x∀,满足Lxt(t+T)=t(t),p(t+T)=p(t),f(t+T,x,y

8、)=f=Nx+y.收稿日期:2010-01-04作者简介:宋利梅(1975),女,广东梅州人,嘉应学院讲师,主要研究方向:常微分方程,Emai:lsonglimei1001@163.com.28华南师范大学学报(自然科学版)2010年(H2)设存在常数M1>0,使得当x>M1时,È2
主要结果(t,y)R#R,有f(t,x,y)+p(t)>0(<0),È当x<-M1时,(t,y)R#R,有f(t,x,y)+11È设X=CT={x:xC(R,R),x(t+T)=x(t)},p(t)<0(>0);其模定义为

9、x

10、1=max{

11、x

12、0,

13、x!

14、0};Y=CT={x:(H3)令f+(t,

15、x,y)=max{f(t,x,y),0},f-(t,x,y)=max{-f(t,x,y),0},则

16、f

17、+f=2f+,

18、f

19、-ÈxC(R,R),x(t+T)=x(t)},其模定义为

20、x

21、0=Èf=2f-.设存在非负数a1,a2,a3,使得对(t,x,y)max{

22、x(t)

23、}.那么在此范数下X,Y均为Banacht[0,T]2ÈR#R成立空间.2f-(t,x,y)%a1

24、x

25、+a2

26、y

27、+a3,定义算子L为:2或dL:DomLX&Y,(Lx)(t)=2[x(t)-c