电动力学.习题new

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1、《电动力学》习题课——2010年春季学期例1在直角坐标系中，在点(0,0,4)处有一个点电荷q=8库仑，在点()0,4,0处1有另外一个点电荷q=−4库仑。试求P点(4,0,0)处的电场强度。2KxE1P(4,0,0)KKErKE2Kr′K1r′2oq(0,0,4)z1q()0,4,02y图1坐标系选取示意图[解]如图1所示，可以计算P点处的场强为KKKKKKKqr−r′qr−r′1122E=E+E=+12KK3KK34πε0r−r1′4πε0r−r2′KKKK⎧r=i4+j0+k0⎪KKKKr′=i0+j0+k41−9⎪⎪K1KKK考虑到ε0=×10（法拉/米）以及⎨36π

2、⎪r2′=i0+j4+k0⎪KK3KK3(22)3⎪r−r′=r−r′=4+4=1282⎩12可以得到最终结果KKKK()()9E4,0,0=i0.8+j0.8−k1.6×10（伏特/米）例2设点电荷q位于坐标原点，它在周围空间的任意一点M处所产生的电场KqKKKKK强度矢量为：E=r。式中的q和ε都是常数，r=ix+jy+kz是M点的304πεr01K矢径。求E的矢量线方程的通解。K[解]根据电力线的定义，在电力线上任意一点处的切向长度单元dl与该点处的K电场强度矢量E的方向平行，即有：KKEdlsinE,dl=0因此可以有：KKE×dl=0(1)由于KKKKdl=idx+

3、jdy+kdzKKK这里，i、j、k分别代表坐标轴x、y、z的单位方向矢量。我们可以将电场强度表达成KKKKE=iE+jE+kExyz则式(1)变成KKKijkKKE×dl=EEE=0xyzdxdydz展开上式，并根据零矢量的三个分量均为零的性质，则可以得到如下关系式：dxdydz==(2)EEExyz这就是电力线的微分方程。求得它的通解就可以得到电力线方程。KqKKKKKK因为E=()ix+jy+kz=iE+jE+kE，将之代入式(2)后可以很容3xyz4πεr0易得到矢量线的微分方程：⎧dxdy=⎪⎪xy⎨⎪dydz=⎪⎩yz考虑到点电荷q是位于坐标原点的，因此求解上式可

4、以得到其通解：⎧y=C1x⎨，（C1,C2是任意常数）z=Cx⎩2由此可以看出，电力线是一组从点电荷所在点（原点）向空间发散的径向辐射线。这样的一组矢量线可以形象地描绘出点电荷所激发的电场的分布状况。如图2所示。2zKEyox图2点电荷电场的电力线例3三个矢量间的混合积和双重矢量积利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式：三个矢量的混合积KKKKKKKKKA⋅×=⋅×=⋅×()BCBCACAB()()(3)双重矢量积KKKKKKKKKA××=⋅−⋅⋅()BCBACCAB()()(4)上述两公式的证明如下：混合积公式的证明AAAijkKKKKKKKABCA⋅×=⋅()

5、∑∑εεijkBCejki=ijkBCAejk()⋅=i∑εijkABCBBBijk=ijkijkijkijkCCCijkKKK由行列式可以看出混合积对A、B和C具有轮换对称性，即有：KKKKKKKKKA⋅(BCCABBCA×=⋅×=⋅×)()()(5)双重矢量积公式的证明3KKK⎛⎞KK⎛⎞ABC××=()⎜⎟∑∑Aejj×⎜⎟εmnkmnkBCe⎝⎠jm⎝⎠nkKK=×∑∑εmnkBCAeemnj()jkjmnkKK==∑∑εεεεmnkBCAmnj()jkiie∑∑mnkBCAmnj()ijkieijmnkijmnkKK==∑∑()εεmnkijkBmCAenji∑∑(

6、δδδδimjn−injm)BCAemnjiijmnkijmnKKKKKK=−=⋅∑()BCAijjBCAejiji∑⎡⎤⎣⎦BACi()−⋅CABeii()ijiKKKKKK=⋅−⋅BACCAB()()即有：KKKKKKKKKABCBACCAB××=⋅−⋅()()()(6)上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的性质。KK例4求两个矢量场A、B的矢量积的散度，即求KK∇×(A×B)[解]考虑到∇算符的求导作用KKKKKK∇×(A×B)=∇×(Ac×B)+∇×(A×Bc)KKK式中A表示A不被∇作微分运算，同理B（以后此种记号都作这样的理解）。根cc据矢量公式KKKKKKKKKa×

7、(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b)作调整得到KKKKKK∇×(A×B)=A(∇⋅B)−]B(∇⋅A)[cccKKKKKKKK(7)=A()∇⋅B−()A⋅∇B=A()∇⋅B−()A⋅∇BccKK交换A、B的顺序，由(7)式可以推出KKKKKKKK∇×(A×Bc)=−∇×(Bc×A)=−B(∇⋅A)+(B⋅∇)A(8)于是KKKKKK∇×(A×B)=∇×(A×B)+∇×(A×B)ccKKKKKKKK(9)=()B⋅∇A−B()∇⋅A−()A⋅∇B+A()∇⋅B例5证明4KK∇(A⋅B)KKKKKKKK