电动力学答案new

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1、电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式rrrrrrrrrr∇(A⋅B)=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)Brr1r2rrA×(∇×A)=∇A−(A⋅∇)A2vvvvvvvvvv解1∇(A⋅B)=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)B首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题vv∇将作用于A和B又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质vvvvvvvvv因此利用公式c×(a×b)=a⋅(c⋅b)−(c⋅a)b可得上式其中右边前两项是∇作用于vvA后两项是∇作用于Bvv2根据第一个公

2、式令AB可得证2.设u是空间坐标xyz的函数证明df∇f(u)=∇udurrdA∇⋅A(u)=∇u⋅durrdA∇×A(u)=∇u×.du证明1∂f(u)r∂f(u)r∂f(u)rdf∂urdf∂urdf∂urdf∇f(u)=ex+ey+ez=⋅∂xex+⋅ey+⋅ez=∇u∂x∂y∂zdudu∂ydu∂zdu2rrrrrrrr∂Ax(u)∂Ay(u)∂Azz(u)dAx(u)∂udAy(u)∂udAz(u)∂udA∇⋅A(u)=++=⋅+⋅+⋅=∇u⋅∂x∂y∂zdu∂xdu∂ydz∂zdu3rrreeexyzrrrrrrr∂∂∂∂Az∂Ayr∂Ax∂Azr∂Ay∂Axr∇×A(u

3、)==(−)e+(−)e+(−)e=xyz∂x∂y∂z∂y∂z∂z∂x∂x∂yrrrAA(u)A(u)x(u)yz-1-电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律rrrrrrrdAz∂udAy∂urdAx∂udAz∂urdAy∂udAx∂urdA=(−)e+(−)e+(−)e=∇u×xyzdu∂ydu∂zdu∂zdu∂xdu∂xdu∂ydu'2'2'2'3.设r=(x−x)+(y−y)+(z−z)为源点x到场点x的距离r的方向规定为从源点指向场点'r∂r∂r∂1证明下列结果并体会对源变数求微商(∇=e+e+e)与对场变数求x'y'z'∂x∂y∂zr∂r∂r∂微商(∇=e+e+e)的关系

4、xyz∂x∂y∂zrrrrr'r1'1rrr'r∇r=−∇r=,∇=−∇=−,∇×=0,∇⋅=−∇=0.(r≠0)3333rrrrrrr(最后一式在人r0点不成立见第二章第五节)2求rrrrrrrrrrrrrrr∇⋅r,∇×r,(a⋅∇)r,∇(a⋅r),∇⋅[Esin(k⋅r)]及∇×[Esin(k⋅r)],其中a,k及E均为常矢量000'''r∂(x−x)∂(y−y)∂(z−z)证明∇⋅r=++=3∂x∂y∂zrrreeexyzr∂∂∂∇×r==0∂x∂y∂z'''x−xy−yz−zvrvvv∂v∂v∂vvrv(a⋅∇)r=[(ae+ae+ae)⋅(e+e+e)][(x−x')e

5、+(y−y')e+(z−z')e]xxyyzzxyzxyz∂x∂y∂z∂∂∂vrv=(a+a+a)[(x−x')e+(y−y')e+(z−z')e]xyzxyz∂x∂y∂zvvvv=ae+ae+ae=axxyyzzvvvvvvrvvv∇(a⋅r)=a×(∇×r)+(a⋅∇)r+r×(∇×a)+(r⋅∇)⋅avvvvvrv=(a⋅∇)r+r×(∇×a)+(r⋅a)⋅avvvvv=a+r×(∇×a)+(r⋅∇)⋅arrrrrrrrr∇⋅[Esin(k⋅r)]=[∇(sin(k⋅r)]⋅E+sin(k⋅r)(∇⋅E)000-2-电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律∂rrr∂rrr∂rr

6、r=[sin(k⋅r)e+sin(k⋅r)e+sin(k⋅r)e]Exyz0∂x∂y∂zrrrrrrrrrr=cos(k⋅r)(ke+ke+ke)E=cos(k⋅r)(k⋅E)xxyyzz0rrrrrrrrr∇×[Esin(k⋅r)]=[∇sin(k⋅r)]×E+sin(k⋅r)∇×E0004.应用高斯定理证明rrr∫dV∇×f=∫dS×fVS应用斯托克斯Stokes定理证明rr∫dS×∇φ=∫dlφSL证明1)由高斯定理rrr∫dV∇⋅g=∫dS⋅gVS∂g∂g∂gxyz即(++)dV=gdS+gdS+gdS∫V∫xxyyzz∂x∂y∂zSr∂∂r∂∂r∂∂r而∇×fdV=[(f−

7、f)i+(f−f)j+(f−f)k]dV∫V∫zyxzyx∂y∂z∂z∂x∂x∂y∂rr∂rr∂rr=[(fk−fj)+(fi−fk)+(fj−fi)]dV∫yzzxxy∂x∂y∂zrrrrr又dS×f=[(fdS−fdS)i+(fdS−fdS)j+(fdS−fdS)k]∫S∫Szyyzxzzxyxxyrrrrrr=(fk−fj)dS+(fi−fk)dS+(fj−fi)dS∫yzxzxyxyzrrrrrr若令H=fk−fj,H=fi−fk,H=fj−fix