复变函数讲义3new

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1、13Ù)Û¼êÈ©L«3.1EC¼êÈ©¥‰ŒêÆÆ2013c93.1EC¼êÈ©(¥‰ŒêÆÆ)13Ù)Û¼êÈ©L«2013c91/12EC¼êÈ©½ÂDenitionC´²¡þ˜^k••‚§Ùå:´z0,ª:´Z§f(z)´½Â3CþüŠ¼ê"?¿^˜©:zk=xk+iyk(k=0,1,


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3、z•C3§…ZZZf(z)dz=u(x,y)dxv(x,y)dy+iv(x,y)dx+u(x,y)dy.CCC5¿ØAO(²,•‚˜Æ•1w½Åã1w•‚,¿Œ¦•.3.1EC¼êÈ©(¥‰ŒêÆÆ)13Ù)Û¼êÈ©L«2013c93/12OŽ•{TheoremRf(z)=u(x,y)+iv(x,y)3•‚CþëY§KEÈ©f(z)dz•C3§…ZZZf(z)dz=u(x,y)dxv(x,y)dy+iv(x,y)dx+u(x,y)dy.CCC5¿ØAO(²,•‚˜Æ•1w½Åã1w•‚,¿Œ¦•.úªŒ/ª/¤ZZf(z)dz=(

4、u+iv)(dx+idy).CC3.1EC¼êÈ©(¥‰ŒêÆÆ)13Ù)Û¼êÈ©L«2013c93/12OŽ•{TheoremRf(z)=u(x,y)+iv(x,y)3•‚CþëY§KEÈ©f(z)dz•C3§…ZZZf(z)dz=u(x,y)dxv(x,y)dy+iv(x,y)dx+u(x,y)dy.CCC5¿ØAO(²,•‚˜Æ•1w½Åã1w•‚,¿Œ¦•.úªŒ/ª/¤ZZf(z)dz=(u+iv)(dx+idy).CC½È©µ{ü1w•‚C:x=x(t),y=y(t)(atb),…z0=x(a)+iy(a),Z=x

5、(b)+iy(b),KkZZb
f(z)dz=(u+iv)x0(t)dt+iy0(t)dtCaZb=f(z(t))z0(t)dt.3.1EC¼êÈ©(¥‰ŒêÆÆ)13Ùa)Û¼êÈ©L«2013c93/12Proof.[½ny²]zk=xk+iyk,Dxk=xkxk1,Dyk=ykyk1,Dzk=Dxk+iDyk,zk=xk+ihk,k=1,2,


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6、

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7、5ŸµRR1kf(z)dz=kf(z)dz,k•E~ê¶RCCRR2[f(z)g(z)]dz=f(z)dzg(z)dz;CCC3.1EC¼êÈ©(¥‰ŒêÆÆ)13Ù)Û¼êÈ©L«2013c95/12Ä5ŸµRR1kf(z)dz=kf(z)dz,k•E~ê¶RCCRR2[f(z)g(z)]dz=f(z)dzg(z)dz;RCRCC3f(z)dz=f(z)dz,ùp§CL«†CƒÓ••ƒ‡•CC‚¶3.1EC¼êÈ©(¥‰ŒêÆÆ)13Ù)Û¼êÈ©L«2013c95/12Ä5ŸµRR1kf(z)dz=kf(

8、z)dz,k•E~ê¶RCCRR2[f(z)g(z)]dz=f(z)dzg(z)dz;RCRCC3f(z)dz=f