非线性层合压电梁的动力分析

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1、非线性层合压电梁的动力分析*王伟姚林泉（苏州大学数学科学学院，苏州，215006）摘要本文研究简支压电层合梁在强电场作用下的非线性动力学行为。考虑材料的电致伸缩和电致弹性压电效应以及几何非线性导出压电层合梁的非线性振动控制方程。利用非定常振动的渐近理论对具有慢变系数的非线性动力方程进行求解，得到了简支压电层合梁的动力特征。关键词几何非线性，材料非线性，压电层合梁，渐进理论，共振频率引言由于压电传感器具有控制精度高、响应速度快、功耗低等优点,被广泛应用于大规模集成电路光刻设备、超精密计量设备和仪器中.然而虽然压电元件具有很多优点,但

2、它同时也存在一些固有的缺陷,其中它的非线性特性是影响其性能进一步提高的主要原因之一[1-2]。而在实际器件中为了达到有效控制结构的目的,往往要在作动器上施加大的电场,致使压电材料表现出较强的非线性。为减小压电作动器非线性特性所造成的影响,更好地发挥压电元件的性能,研究其控制系统非线性特性和控制策略是非常重要的。压电晶片式弯曲执行器是最常见的驱动元件。目前虽然已有大量的文献报道关于对压电晶片的研究[3-6]，但很少考虑在强电场作用下同时考虑几何非线性和材料非线性压电效应。本文考虑压电材料的非线性效应以及几何非线性导出压电层合梁的非线

3、性振动控制方程。利用非定常振动的渐近理论的三级数法对具有慢变系数的非线性动力方程进行求解，得到了简支压电层合梁的动力特征。得到压电执行器谐振频率与作用电场强度频率的变化关系。1动力方程考虑长为l，总厚度为h，有n层各向同性的压电层与基础层层合的梁。设第k层处于zz=k和zz=之间。假设每层被完好地粘合在一起并略去粘合层的厚度和粘弹性影响。压电层的极k+1化沿z轴方向，并设只沿厚度方向作用电场E，而另外两个分量又为零，所以对于狭窄层合梁，3—————————————————————————*基金项目：江苏省教育厅自然科学基金(04K

4、JB110117)，教育部留学回国人员科研启动基金，暨南大学重点实验室开放课题基金资助项目。通讯联系人：姚林泉，lqyao@suda.edu.cn江苏省力学学会2006学术大会暨第二届苏港力学及其应用论坛所有的位移及其导出分量独立于坐标y，即仅仅考虑轴向位移ux(,z,t)和横向位移wx(,z,t)。根据kirchhoff假设，位移场、应变ε与位移之间的非线性几何关系、非线性压电效应的本构关系x[7,8]可分别表示为∂w0ux(),,zt=−u0(x,t)z,wx(,,zt)=w0(x,t)(1)∂x2(0)(1)∂∂uw0012

5、∂w0εε=+zε=+()−z(2)xxx2∂x2∂∂xx12εσ=+SdE+dσE+mE(3)xx11313311x32313(0)(1)其中，u和w分别是梁中面的轴向和横向位移，ε是薄膜应变,ε是弯曲应变，SE=1是00xx11弹性柔顺度系数，E是杨氏模量，d是压电柔顺度系数,m是电致伸缩柔顺度系数,d是电3131311致弹性柔顺度系数。由于铁电材料电场与应变呈蝴蝶形滞洄曲线，加载与卸载时应变的路径不同，(3)对电加载阶段适用，本文仅考虑电场加载的情况。由于电致弹性效应与柔顺度相比要小得多，2即dE<

6、后(3)可表达为311311312σε=−QdEE−mEE(4)xx113132313其中1222QE=≈(1−dEE+dEE)，mm=−2ddE(5)1131133113313131311Sd+E113113Q是等效刚度，m是等效电致伸缩柔顺度。1131设合成轴力和合成弯矩分别是N和M。根据(2)和(4)它们可表示为xx2∂∂uw0012∂w0pNb==σdzA+()−B−N(6)xx∫11112xz∂∂xx2∂x2∂∂uw0012∂w0pM=bzσdz=+B()−D−M(7)xx∫11112xz∂∂xx

7、2∂x2江苏省力学学会2006学术大会暨第二届苏港力学及其应用论坛其中b是梁的宽度，A,B,D分别是抗拉刚度、弯曲－拉伸偶合刚度和弯曲刚度，111111ppN和M分别是沿厚度方向（极化方向）作用电场E所引起的合成轴力和合成弯矩。xxz它们的具体表达式为nnn()kb()k22b()k33Ab11=−∑Q11()zkk+1z，B11=−∑Qz11()kk+1z，DQ11=∑11(zk+1−zk)(8)k=12k=13k=1nnpk()(k)1()k2(k)pk()()k1()k2(k)(k)Nbx=+∑E()d31E32m31E3h

8、，Mxc=+bE∑(d31E32m31E3)hh(9)k=1k=1()k其中上标（k）表示第k层相应的量，hz=+(z)/2是从x轴到第k层中线的距离。对非ckk+1压电层，只要将与压电有关的相应系数取为零即可。根据弹性层合梁理论可知，层合梁的运动