光滑流形的迹上的w_m_p_嵌入定理_张宏伟

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1、第26卷第4期数学理论与应用Vol.26No.42006年12月MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSDec.2006m,pX光滑流形的迹上的W(8)嵌入定理张宏伟戴新建鲁祖亮梁小英(长沙理工大学数学与计算科学学院,长沙,410077)摘要本文讨论了将嵌入定理推广到光滑流形的迹上去,并证有了强局部Lipschitz性质下的嵌入定理.关键词嵌入定理光滑流形的迹强局部Lipschitz性质m,pW(8)ImbeddingTheoreminTraceofSmoothManifoldZhangHongweiDaiXinjianLuZuliangL

2、iangXiaoying(CollegeofMath.&ComputingScience,ChangshaUniversityofScienceandTechnology,Changsha,410077)AbstractInthispaper,wedevelopedtheimbedingtheoremtosmoothmaniford.Atthesametime,weprovedimbeddingtheoremwhenthedomainhasstronglocalLipschitzproperty.KeywordsImbeddingtheoremtraceofSmoo

3、thmanifoldstornglocalLipschitzpropertym,pW(8)空间中的嵌入定理是偏微分方程的基础,深刻地刻划了Sobolev空间与其他函数间的关系,它在近代偏微分方程理论研究中起着重要的作用,它被广泛应用于纯粹数学、流体力学、有限元理论和优化控制理论等前沿学科,尤其在算子理论数字处理(尺度空间)中发挥着巨大作用.由于Sobolev空间的嵌入性质的存在使得Sobolev空间在数学理论分析,特别是在微分算子和积分算子的研究中得到了广泛的应用.Sobolev空间的嵌入定理的主要结果应归[1][2][3]功于Sobolev.之后Morrey,St

4、ein和Galiardo等人对嵌入定理的结果作了进一步的改进.本文主要将嵌入定理进一步推广到光滑流形的迹上去,并证明了强局部Lipschitz性质下的嵌入定理.1基本概念定义18具有锥性质,如果存在有限锥C使每一点x∈8是一个包含于8内且全等于C的有限锥Cx的顶点.定义28具有强局部Lipschitz性质,如果存在正数D和M,bdry8的一个局部有限开覆盖{Uj},以及对每个Uj有一个n-1实变量的实变函数fj,使得以下条件成立:(1)对某一有限R,集合Uj中的任意R+1个交于空集;(2)对于所有满足ûx-yû

5、y8)D};X湖南省教育厅优秀青年项目资助(05B022).蔡海涛教授推荐收稿日期:2005年8月30日86数学理论与应用第26卷(3)每一函数fj满足关于常数M的Lipschitz条件:ûf(N1,N2,⋯,Nn-1-f(G1,G2,⋯,Gn-1)ûFMûN1-G1,N2-G2,⋯,Nn-1-Gn-1û(4)某一Uj内的笛卡尔坐标系(Nj,1,Nj,2⋯,Nj,n-1),集合8∩Uj由不等式Nj,n

6、1)X是Y的向量子空间,(2)对一切的x∈X由Ix=x定义的X到Y的恒同算子是连续的,则称X嵌入到Y,记为X→Y.m,p定义4设8是具有锥性质或强局部Lipschitz性质的区域,则称W(8)空间中的函数u在边界上的限制uûbdry8为光滑流形的迹.kn下文中,C表示一个任意常数,dS表示bdry8上的面积元,8表示8和R中的一个k维平面的交集,Uj是bdry8的一个局部有限开覆盖.2主要结果和证明命题1强局部Lipschitz性质蕴涵锥性质由命题1,于是我们可以将具有锥性质的Sobolev空间上的嵌入定理推广到强局部[1]Lipschitz性质,为了后面证明的需要

7、我们引入一些有用的嵌入定理:npm+j,pi,qm,pq若mpn且pFqF∞时,W(8)→W(8)且W(8)→L(8).n(n-1)p定理1设8是R中具有强局部Lipschitz性质的区域,若mp