第7章 边值型静态场问题的解法 [兼容模式]

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1、本章基本内容泊松（Poisson）方程、拉普拉斯（Laplace）方程，唯一性定理第七章静态场边值型问题的解法分离变量法求解直坐标、圆柱坐标、球坐标*中的二维场王亚峰镜象法（平面镜象、柱面镜像*、球面镜象、介质镜象）wangyf@bupt.edu.cn2013-11-19电磁场与电磁波12013-11-19电磁场与电磁波2静态场的边值型问题的提出静态场的边值型问题静电问题，大体分为两类：第一类边值问题已知电荷分布，求电位，场强；已知边界上的电位函数，求场中的电位分布已知边界电位或电位梯度，求场的分布；第二类边值问题

2、已知边界上的电位法向导数，求导体电位和场中电位分布混合边值问题已知某一部分边界电位和另一部分边界电位法向导数，求场的分布2013-11-19电磁场与电磁波32013-11-19电磁场与电磁波4泊松方程拉普拉斯方程对于各项同性介质如果场中无电荷分布D,,DEDEE()E20拉普拉斯方程如果介质均匀E2泊松方程2013-11-19电磁场与电磁波52013-11-19电磁场与电磁波61唯一性定理唯一性定理唯一性定理用反证法证明唯一性定理。(

3、对于第一类边值问题)既能满足拉普拉斯方程（或泊松方程），又能满足边界条件的电位的解是唯一的。证明：假定任意一点的电位解不唯一，具有两个解1，2，且令012由于1，2都满足拉普拉斯方程（或泊松方程），故22200122013-11-19电磁场与电磁波72013-11-19电磁场与电磁波8唯一性定理唯一性定理2由格林第一恒等式由于不能为负值，则02dV0dS0VS00000n0因此，0为常数。又因为在边界上0＝0，可知故2

4、dVdV012000VV2013-11-19电磁场与电磁波92013-11-19电磁场与电磁波10格林第一恒等式格林第一恒等式格林第一恒等式对上式进行体积分并应用散度定理，可得2dV0dS2VS00000nVV00dV0000dV格林第一恒等式的推导dSS00由矢量恒等式由于ddSe00eSdS20nn000000nn故得格林第一恒等式。2013-11-1

5、9电磁场与电磁波112013-11-19电磁场与电磁波122利用方程和边界条件求场的定直接积分求解一维场解的简单例子对于一些简单、对称问题，有可能拉普拉斯方已知同轴圆柱（同轴线）的内外导体半径分别为程的求解变为一维问题a和b，沿z方向伸长，外导体接地，内导体电平板的平面对称位为U，求同轴线间的电位及电场分布。0圆柱面（体）的轴对称球面（体）的球心对称这类问题的求解可以通过直接积分，求出通解，再代入边界条件，求出定解2013-11-19电磁场与电磁波132013-11-19电磁场与电磁波14例题例题注意：正确选择坐

6、标系，方程可以被简化利用两个边界条件来确定CC，12解：轴对称边值问题，选择圆柱坐标系。raU电位仅与r有关，于是拉普拉斯方程变为0rb021ddr0rdrdr代入得积分两次，得aaCU10/lnCUb20ln/lnCrC12lnbb2013-11-19电磁场与电磁波152013-11-19电磁场与电磁波16例题分离变量法求解拉普拉斯方程则位函数为Ur步骤0lnab分离变量。将偏微分方程的定解问题化为常微分方程lnb的

7、定解问题确定固有值和固有函数。当边界条件是齐次时，利用同轴线间的电场强度为其求固有值，并求出满足零边界条件的非零解UU求解其他常微分方程。得到满足齐次边界条件的偏微Eeee00rrr分方程的特解Un（x，y）rabrrlnbaln将所有Un（x，y）叠加，利用其中的常数使其满足偏微分方程其余的定解条件2013-11-19电磁场与电磁波172013-11-19电磁场与电磁波183直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法电势函数的拉普拉斯方程为用f()()()xgy

8、hz除上式得22220fxgyhz()()()2220xyzfx()gy()hz()假设(,,)xyzfxgyhz()()()上式成立的唯一条件是三项的每一项都是常数，代入上述拉普拉斯方程可得任意假定他们分别为kkk222,,xyzfxgyhz()()()fxgyhz(