谈换元法分解因式的技巧

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1、谈换元法分解因式的技巧于志讲应用换元法分解因式，不但能将问题化繁为简、化难为易，而且能拓展思路、提高解题的技能技巧。现以近年来部分省市的数学赛题为例，归类介绍几种富有技巧性的换元法，供同学们参考。一、常数换元例1.分解因式：。分析：本题如应用分组分解法按“二二分组”或“三一分组”均难以奏效，但由于数字1997出现频数高，若以1997为辅助元a，则1996可转化为。从而原来四项式可转化为五项式，采用“三二分组”就便于利用提取公因式法与公式法简捷地求解。解：设，则。原式二、单项换元例2.分解因式：。分析：本题可直接应用十字相乘法分解因式，但由于式子长，因而书写麻烦，若

2、将多项式看作辅助元，则可简化解题过程。解：设，则原式三、双项换元例3.分解因式：。分析：本题按常规解，必须先去括号，从而增加了运算量，如注意到，则可以为辅助元，从而为分解创造了有利条件。解：设。原式四、三项换元例4.分解因式：分析：如先去括号再分解，则相当繁琐，但注意到，故通过三项换元可将复杂问题转化为简单问题。解：设又，则故原式五、对称换元例5.分解因式：分析：显然去括号分解不可取，但以x、y的和积对称式为辅助元求解，情况就大不一样。解：设，则原式例6.分解因式：分析：思路同例5。解：设，则原式六、倒数换元例7.分解因式：。分析：本题多项式中到中间距离相等的项的

3、系数的绝对值都相等，故可考虑采用倒数换元构造“”求解。解：原式设，则原式例8.分解因式：分析：同例7。解：原式设，则原式七、均值换元例9.分解因式：。分析：若先去括号再分解显然很麻烦，但注意到；原式。故以为辅助元进行转化就很简单。解：设，则原式例10.分解因式：。分析：思路同例9。解：因原式，故可设则原式。例11.分解因式：。分析：如果直接取、、的平均值作为辅助元，则不易用辅助元来表示这三个二项式，应把，然后再用均值换元法就较为简便。解：原式。设，则原式例12.分解因式：。分析：如先去括号再分解则较麻烦，但取换元，则可以消去展开式中的奇次项，从而为分解铺平道路。解

4、：设，则原式练习题分解下列因式：1.。［答案：］2.［答案：］3.［答案：］4.［答案：］5.［答案：］6.。［提示：设，答案：］7.［答案：］8.［答案：］