因式分解的变形策略及换元技巧

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1、因式分解的换元技巧1.整体换元例1分解因式：x(x+1)(x+2)(x+3)+l二解原式适当组合化为(x2+3x)(x?+3x+2)+1设x2+3x=y,则原式二y(y+2)+l=y2+2y+l=(y+l)2=(x2+3x+1)22.常值换元例2分解因式：x4+1987xS1986x+1987二解设m=1987,则原式=x4+mx2+(m-1)x+m42二x+mx+mx・x+ni二(x4-x)+(mx2+mx+m)=x(x-1)(x2+x+l)+m(x2+x+l)=(x2+x+l)(x2-x+m)二(xSx+l)(x2-x+1987)计算①632+372+63X74；②982-15X98-3

2、4.解：①令a=63,b二37.原式=a2+b2+2ab=(a+b)2=(63+37)2=101.②令a二98,原式=a2-15a-34=(a4-2)(a-17)=8100.1.均值换元例3在实数范围分解因式:(a2+a+l)(a2-6a+l)+12a2=3一1)解=£[(a2+◎+1)+(a$-6a+1)]=宀討+1原式=1卜+討卜-+12/2.双重换元例4分解因式：(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1).解设a+b二x,ab=y,则原式=x(x-2y)+(y-l)(y+1)=x2-2xy+y2・1=(x-y)2-l=(x-y+l)(x-y-1)=(a+b-ab+l)(a+

3、b-ab-1)=(a・1)(1・b)(a+b・ab+1)分解因式的变形策略因式分解中的10种变换一、指数变换例1因式分解xn+1-3xn+2xn-解xn+1-3xn+2xn-1=x2•xn_l-3x•xn-1+2xn_1(指数变换)二x"(x+l)(x-2).二、符号变换例2因式分解(a・b)(x-y)-(b-a)(x+y).解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)(符号变换)=(a-b)(x-y+x+y)=2x(a-b)・三、换元变换例3因式分解(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6.解设x2+5x-2=y,则(x2+5x+3)(x2+5

4、x-2)-6=(y+5)y-6(换元)=y2+5y-6二(y+6)(y-1)二(x?+5x+4)(x2+5x-3)二(x+1)(x+4)(x2+5x-3).四、整体变换例4因式分解(x+y)2-4(x+y-1).解(x+y)L4(x+y・l)=(x+y)2-4(x+y)+4(将x+y看作一整体)=(x+y-2)2.五、拆项变换例5因式分解x2-11x+24.解x2-11x+24=x2-3x-8x+24(将-llx拆为-3x-8x)=x(x-3)-8(x-3)=(x-3)(x-8)六、添项变换例6因式分解4x°+l・解4x4+1=(4x4+4x2+1)-4x2(添4x?项)=(2x2+l)2-

5、(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)七、主元变换例7因式分解18x2-21xy-5y2.解18x2-21xy+5y2=5y2-21xy+18x2(将原式看作关于y的二次三项式)二(5y-6x)(y-3x).八、分组变换例8因式分解x4-x3+x-l解x4-x3+x-l=(x4-x3)+(x-l)(分解)=x3(x-l)+(x-l)=(x-l)(x+1)(x2-x+l)・九、数域变换例9因式分解4宀1・解4a4-1=(2a2+l)(2a2-l)(有理数范围)=(2/+1)[(辰)2-1]=(2/+%尿+%尿-1)・(买数范国)注意：2a2+l到高中后还可以继续分解.十、综合变换

6、例10因式分解a&・b&解a6-b6=(a2)3-(b2)3(指数变换)=(a2-b2)(a4+a2b2+b4)(公式变换)=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)(添项变换)二(a2-b2)[(a4+2a2b2+b4)-(ab)2](分组变换)二(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)(公式变换)一、符号变形例1分解因式：x2(x-z)+z2(z-x)解原式二X?(x-z)・z2(x・z)=(x-z)(x2-z2)二(x+z)(x-z)2・二、指数变形例2分解因式：x6-z6.解原式二(，)2一©3)2二(x3+z3)(x3-z3)二(x+z)(x2-xz+

7、z2)(x・z)(x2+xz+z2)・三、分组变形例3分解因式：a(a+b+c)+bc・解原式二a[(a+b)+c]+bc=a(a+b)+(ac+bc)=a(a+b)+c(a+b)二(a+b)(a+c)・例4分解因式：(x2+x+l)(x2-6x+l)+12x2.解原式=E(x2+l)+x][(x2+l)-6x]+12x2=(x2+1)2-5x(x2+1)+6x2=(x2+1-2x)(x2+1-3x)=(x-