因式分解的常见变形技巧

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1、因式分解的常见变形技巧在因式分解学习过程中，除要掌握教材上介绍的三种基本方法：提公因式，公式法，分组分解法外，还常常要进行一些灵活的变换。下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。掌握了这些变换方法后，这类因式分解问题基本可以迎刃而解了。需要说明的是，要想熟练掌握这些技巧，还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指点迷津y-x=-(x-y)体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x

2、-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题1分解因式：-a2-2ab-b2技巧二系数变换有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题2分解因式4x2-12xy+9y2体验过程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题2分解因式技巧三指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题3分解因式x4-y4指点迷津把x2看成

3、(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。体验过程原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题3分解因式a4-2a4b4+b44技巧四展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题4a(a+2)+b(b+2)+2ab指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。体验过程原式=a2+2a+b2+2b+2

4、ab=(a+b)2+2(a+b)=(a+b)(a+b+2)小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。实践题4x(x-1)-y(y-1)技巧五拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。体验题5分解因式3a3-4a+1指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。体验过程原式=3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1

5、)-(a-1)=(a-1)[3a(a+1)-1]=(a-1)(3a2+3a-1)另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。原式=3a3-4a+4-3=3(a3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)(3a2+3a-1)小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题5分解因式3a3+5a2-24巧六添项变换有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。

6、然后再考虑用其它的方法。体验题6分解因式x2+4x-12指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程原式=x2+4x+4-4-12=(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。实践题6分解因式x2-6x+8实践题7分解因式a4+4技巧七换元变换有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题7分解因式

7、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指点迷津直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*令x2+5x=m.上式变形为(m+4)(m+6)+1m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以这样变形，令x2+5x+4=m原式可变为：m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2小结换元法常用于多项式较复杂，其中有