分形理论和时间序列的分析若干问题的研究

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1、北京交通大学博士学位论文分形理论和时间序列分析若干问题研究姓名：董科强申请学位级别：博士专业：运筹学与控制论指导教师：商朋见201103北京交通人学博士学位论文㈠文摘要中文摘要分形理论作为非线性科学中的‘支新军，其研究对象不但包括不光滑、彳i可微的几何形状，而目．涉及非线性系统中产生的相关性，主要研究方法足通过分析其维数、多熏分形谱、相关指数等特征参数进行特征考察．本文对卜述分形特征参数展开研究，包括具有正乜易P明蹦P测度自相似集的性质、信号‘变换对多熏分形谱的影响、除趋势波动分析方法的基本特征、数据的噪声处理等．本文组织结构如下：第‘章简要

2、介绍多熏分形谱理论与除趋势波动分析(DFA)方法的产生背景与研究现状以及这两种理沧之间的关系，并且给}i。：本文的主要结果．第二章讨论尺1扛具：有正￡e易P曙“P测度的自相似集是否包含。个区l刈的问题，证明了下匝两种情况时，集E包含‘个区间当目．仅当E具有正k易P跟“P测度：(1)E(^，止)是剐卜自相似集，且Z(x)=c∥+Pf，cf∈(0，1)，已i∈尺1，i=1，2；(2)E=E(c，沙)是尺1一E关于_(x)=c工+cPj，c∈(O，1)，已j∈16r，i=l，2，⋯，，竹I杓自相似集，假定沙哪是+致离散的，但沙c。。卜．不同的扩张允

3、许相等．第三三章研究的是多重分形谱的性质．对于多熏分形级联模型产生时间序列，给出了多项式变换后的H移埘Pr指数极大值和极小值，研究了多项式变换和对数变换对多重分形谱的影响，并严格证明了线性变换不改变任意分形数据的多熏分形潜．此外，本章研究了多项式趋势、周期性趋势以及指数趋势对多重分形潜的影H向．第四章是对除趋势波动函数分析方法(DFA)的算法进行研究．本章引入了局部波动函数的概念，证明了数据标准化不影响DM指数的计算结果，分析了数据测量精度列‘D融指数的影响．此外，提出了时问延迟DFA方法，并证明了平稳过程时间序列I约DM波动函数与时间延迟D

4、M波动函数依概率相等．第五章的研究对象是除趋势交叉波动方法(DccA)．DccA方法作为D，A方法的推厂’，可以测量多组数据的交叉相关性．通过假设{x序与{)7f}为高斯噪声过程，{x矗冬l与{y矗垒l为该过程的时间序列，结果发现口拶≤a=疗z口x(a工，a)，)，其中，口』，口y分北京交通火学博十学位论文中文摘要别为{x0冬l!j{y以垒l的相关指数，a夥是{xf)冬1‰蹦名1的交叉波动相关指数．第六章提出了基于混沌理沦和奇异值分鳃技术的数据去噪方法．通过将混沌理论中相空间重构原理引入奇异值分解技术中，实现分形数据的噪声消除，本文称之为混沌

5、奇异值方法(csyD)．将csyD方法进行实证分析表明，它刁i仅能够恢复原始数据DM指数，而丑．也能够提取原始数据的DCCA特征．第七章，我们总结了本文的主要结果，同时对进‘步可能的研究方向进行了展望．关键词：如易P昭“已测度；多蔗分形谱；除趋势波动分析；除趋势交叉波动分析；奇异值分解分类号：0157．5北京交通大学I礴+学位论文ABSTRACTFractaltheoryisanewbranchofnonlinearscience，whosesubjectsincludeun—smoothed，nondiⅡ色rentiablegeometry

6、andlong—rangecorrelatedstnlctureinnonlinearsystem．Applyingthestudiesoffractaldimension，multifractalspectrumandcorrela—tionexponentonsubstantiVecharacteristicsarethemainmethodsoffractaltheory．ThisthesisinVestigatesthefractalcharacteristicparameters．TbpicscoVerthepropertiesof

7、self_similarsetswithpositiVeLebesguemeasure，theeH．ectofsignaltransformatiOnonmultifractalspectrum，thebasicfeatureofdetrendedfluctuationanalysismethodanddatadenoising．Thisthesisiso略anizedasfollows．Chapter1introducesthebackgroundandresearchstatusofthemultifIactalspec—trumther

8、OyanddetrendedfluctuatiOnanalysismethod，therelationshipbetweenthem，andthemainresul