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1、二维广义Bernstein多项式李良（绍兴文理学院数学系,浙江绍兴31200）摘要:本文给出二维广义的Bernstein多项式的定义,并研究该多项式一致收敛的充分必要条件，用连续模估计该多项式对连续函数的逼近误差.关键词:二维广义Bernstein多项式;Korovkin定理;连续模.1．引言我们知道Bernstein多项式为（见[1]）对于该多项式我们易得如下性质:1.对于任意的,恒一致地有2.G.G.Lorentz[1]给出:如果,是的连续模,则有估计式:在文献[1]中关于Bernstein多项式有如下的多元推广:
2、一种是乘积型的推广设是维立方上有定义的有界函数,维乘积型Bernstein多项式为T.H.Hildebrandt和I.J.Schoenberg[2]指出:在函数的任一连续点处,有.另一种多元Bernstein多项式是定义在单纯形上的.设于上有定义,则Bernstein多项式为8其中同样若于上连续,则在上一致地有在这个形式的多项式上李文清[4]给出了它的连续模估计式:其中是和在维欧氏空间中的距离.曹家鼎的文章[4]给出了一个新的广义Bernstein多项式,其表达式如下:,其中在文章[4]中曹家鼎给出了对于任意的,有的充
3、要条件是以及在该形式下的连续模估计式本文的目的是研究二维广义Bernstein多项式一致收敛的充分必要条件和用连续模估计该多项式对连续函数的逼近误差.2.新多项式的定义8令是一个在上的连续函数空间,如果则定义范数如下根据二元伯恩斯坦多项式的定义:其中,现在我们来定义二维广义的伯恩斯坦多项式.令是一个自然数集,是一个自然数的序列,再令,则我们定义新的广义Bernstein多项式为显然,若则我们称为二维广义伯恩斯坦多项式.3．引理为了证明定理需要,本节给出几个引理.引理1.以下不等式成立证明:因为=8+=易得曹家鼎[4]给
4、出了广义伯恩斯坦多项式的一些结论有:所以,综合上述等式可得+引理1得证.3．收敛与逼近阶本节给出连续模估计式,先给出一个关于二维广义Bernstein多项式收敛的充要条件,即定理1.对每一个.8证明:充分性.由.再从引理1和可得由文献[5]知:二元线性正算子序列的Korovkin定理为:Korovkin定理设是一个线性正算子序列,它满足(i).(ii).(iii).(iv).其中均于有界闭区域上一致趋于0,则对于一切，于闭区域上恒一致地有应用上面定理可得对于任意的都有必要性.令则和而8因为和都是大于0,所以，若要要求上
5、面两个都趋向于0.即同时有结论得（见[4]）所以，充分必要性得证.推论1.若则证明:假如从定理1就能到推论1.令,,的连续模定义为引理2.令为从线性正算子序列,而.定义（）若和得+.证明:假设,,则对于任意的及有连续性质可知其中,若则令.由上式可知8而所以定理2.令,为的子集,使得对,有和即则对于以下式子成立证明:应用引理2,有定理2证毕.参考文献1．Lorentz,G.G..Bernsteinpolynomials[M].UniversityofTorontoPress.Toronto,1953.2．Hildebra
6、ndt,T.H.andSchoenberg,I.J..Onthemomentproblem[J].Ann.ofmath.,1933,34(2):317-328.3．李文清.关于维空间的伯恩斯坦多项式的逼近度[J].厦门大学学报,1962,2:119-129.4.Jia-dingCao.AGeneralizationoftheBernsteinPolynomials[J].JMathAnalAppl,1997,209:140-146.5.王仁宏,梁学章.多元函数逼近[M].北京:科学出版社,1988.8ATwo-dime
7、nsionalGeneralizationoftheBernsteinPolynomialsLiliang(Dept.ofMath.,ShaoxingCollegeofArtsandScience,ShaoxingZhejiang312000)Abstract:Thispapergivesadefinitionoftwo-dimensionalgeneralizationoftheBernsteinPolynomials.Wefindasufficientandnecessaryconditionsuchtheunif
8、ormconvergenceofthebivariatepolynomials.Byusingthemodulusofcontinuity,weestimatetheerrorofapproximationbythepolynomialsforcontinuousfunction.Keywords:Two-dimensionalg
