多项式扩张及广义幂级数环模

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1、湖南师范大学博士学位论文多项式扩张及广义幂级数环模姓名：欧阳伦群申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：陈焕艮20090301摘要本文研究环的多项式扩张理论以及广义幂级数环模的性质．文中的环都是有单位元1的结合环，文中的Q是环的自同态，而6为Ot一导子．我们分七章讨论．第一章简要介绍研究背景和本文的主要结果．第二章作为对对称环的推广，我们引进了弱对称环与弱(a，6)一对称环的概念并研究环的弱对称与弱(Q，6)一对称性质在其多项式扩张环中的保持问题．在本章中我们首先探讨弱对称环的性质，证明了所有对称环都是弱对称环．同时也证明了环R是弱对称环当且仅当环兄上的上三角矩阵

2、环是弱对称环．接着我们探讨了环R的弱对称性质与它的Ore扩张环兄k；Ot，川之间的关系，证明了如果环兄是(Ot，6)一相容的可逆环，那么环R是弱对称环当且仅当Rp；Ol，5】是弱对称环．第三，我们研究了环R的弱(Q，6)一对称性质与它的多项式环R[x1之间的关系，证明了如果环兄是半交换环，那么环R是弱(Q，6)一对称环当且仅当R[x】是弱(西，万)一对称环，其中西与6分别是Ot与6的扩张映射．第三章作为对口一刚环的推广，我们引进了弱(Q，6)一相容环与弱(Q，6)一Armendariz环的概念并探讨弱(Q，6)一相容环与弱(Q，5)一Armendariz环的性质．我

3、们在本章中证明了如果环兄是弱(Ol，6)一相容的半交换环，那么R是弱(OL，6)一Armendariz-环；如果兄是弱(Q，6)一相容环且R[x】是半交换环，那么多项式环RM是弱(瓦，6)一Armendariz环，其中西与6分别是Ot与6的扩张映射．TT第四章作为对Q一刚环与Q—skewArmendariz环的推广，我们引进了弱口一刚环与弱Q—skewArmendariz环的概念并研究这类环的性质．在本章中，我们首先研究弱a一刚环的性质并举例说明弱a一刚环是Q一刚环的真推广．接着我们探讨弱Q一刚环与弱a—skewArmendariz环的关系，证明了如果礼il(R)是

4、环兄的理想，那么弱Q一刚环必是弱Q—skewArmendariz环；如果环兄是弱Q一刚的半交换环，那么多项式环R[x】是弱Q—skewArmendariz环．第五章作为对McCoy环的推广，我们引进了a-McCoy环和弱McCoy环，并研究环的弱McCoy性质在其多项式扩张环中的保持问题．在这一章中，我们首先对McCoy环与a-McCoy环进行了比较，说明a-McCoy环是McCoy环的真推广，并证明了如果环兄是及一相容的可逆环，则环R必是a-McCoy环，从而推广了McCoy环的相关结论[76，Theorem2】．接着我们研究环的弱McCoy性质在其多项式扩张环中

5、的保持问题，证明了如果环R是(Q，6)一相容的可逆环，那么环尺是弱McCoy环当且仅当环兄的Ore扩张环Rk；口，司是弱McCoy环，从而把许多熟知的有关McCoy环的结论推广到了更广泛的环类上．第六章引进弱Zip环的概念，并研究环的弱Zip性质在其多项式扩张环中的保持问题．首先，作为零化子的推广，我们引进弱零化子的定义，并研究环的弱零化子的相关性质．接着以弱零化子为基础，作为对Zip环的推广，我们引进弱Zip环，并证明了当环只是可逆的(a，J)一相容环时，环R的弱Zip性质在环的Ore扩张Rk；Q，卅中是保持的．¨T第七章主要研究广义幂级数环，模的性质．在7．2节

6、，我们研究形式三角矩阵环的GM一性质，证明了环上形式三角矩阵环的GM一性质在广义幂级数环上的形式三角矩阵环中是保持的．在7．3节，我们证明了广义幂级数环的Grothendieck群与环R的Grothendieck群同构，从而刻画了广义幂级数环和广义幂级数环上MoritaContext的Grothendieck群．同时我们研究广义幂级数环上MoritaContext的稳定性质．证明了如果环A与环B分别是(St2)一环，unitl一stablerange环，那么广义幂级数环上的MoritaContext([[As≤】】，【旧s≤】】，[【Ms≤】】，[INs,≤]]，矿

7、，矿)也分别是(s，2)一环，unitl—stablerange环．从而得到了新的满足稳定度条件的环类．在7．4节，作为对Ar．mendariz环的推广，我们引进了广义幂级数环上S—Armendariz模的概念．证明了广义幂级数环上的S—Armendariz模有许多类似于Ar—mendariz环的性质．作为S—Armendariz模性质的运用，我们证明了如果R是环，M为S-Armendariz模，且对任意≯2=≯∈[[Rs，≤]】，存在e2=e∈R使得矽=G，那么M分别是Baer，quasi—Baer，P．P．模当且仅当[[Ms，≤]】是分别是Baer，quas