三角域上有理bernstein多项式的方向导数

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1、第20卷第3期西安工程学院学报Vol.20No.31998年9月JOURNALOFXI′ANENGINEERINGUNIVERSITYSep.1998三角域上有理Bernstein多项式的方向导数徐智金张晓鹏(陕西省商贸学校,西安710065)(西北大学数学系,西安710069)提要应用数学分析的方法递归地表示了三角域上有理Bernstein多项式的所有方向导数,并给出了一种高效的求值方法,该方法在效果上比前人有明显的改进。关键词方向导数;三角域;有理Bernstein多项式;递归中图法分类号O29;TP39112第一作者简介徐智金,女,1956年生,讲师,现主要从

2、事数学教学工作。随着数学科学和计算机科学的不断发展,计算几何已在工业生产和科学研究中取得广泛的应用。W(p)=wn∑A,B,CBA,B,C(p)(3)A+B+C=n三角域上的Bernstein多项式是一种良好的造型工A,B,C≥0具,因为它不仅能使人们很容易从数学表示式上了那么,有理式(1)可写成解其几何含义,而且还能表示多种多样的几何图形。R(p)=F(p)öW(p)(4)deCasteljau算法:(1)的求值常用的方法为de1三角域上有理Bernstein多项式Casteljau算法,可按递归关系描述为:r-1r-1rwi+1,j,kr-1wi,j+1,kr-

3、1fi,j,k=urfi+1,j,k+vrfi,j+1,k+wi,j,kwi,j,k设T=$T1T2T3是坐标平面上任意一个非退r-1wi,j,k+1r-1化三角形,T1,T2和T3分别是三个顶点。对于该平wrfi,j,k+1wi,j,k面上任意一点p来说,唯一存在着一组实数(u,v,(i,j,k≥0,i+j+k=n-r,1≤r≤n)w)(u+v+w=1),使得p=uT1+vT2+wT3,rr-1r-1r-1wi,j,k=uwi+1,j,k+vwi,j+1,k+wwi,j,k+1(u,v,w)则叫p关于T的重心坐标。p∈TZu,v,w≥0。给定1ö2(n+1)(n+

4、2)个实数fA,B,C(A+B+(i,j,k≥0,i+j+k=n-r,1≤r≤n)0C=nA,B,C≥0,则T上的n次有理Bernstein多fi,j,k=fi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=n)项式为0wi,j,k=wi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=n)nn∑wA,B,CfA,B,CBA,B,C(p)上式关于C递归的最后结果为R(p)=f0,0,0,所用A+B+C=nA,B,C≥0n+2n+2R(p)=n(1)乘法总数为21[],除法总数为9[],这∑wA,B,CBA,B,C(p)33A+B+C=nA,B,C≥0两个值都是很大的。nn!ABC其中BA

5、,B,C(p)=uvu,要求wA,B,C≥0,A!B!C!2方向导数的表达关系式而wn,0,0,w0,n,0,w0,0,n>0以避免分母取零值。令nF(p)=∑wA,B,CfA,B,CBA,B,C(p)(2)sA+B+C=n用DdR(p)表示三角域T上的函数R(p)在dA,B,C≥0方向上的s阶导数,应用数学分析方法和数学归纳收稿日期19980310方法可以推出以下三个结论:3期徐智金等:三角域上有理Bernstein多项式的方向导数73AB211方向导数的偏导表达式hA+k,B+l(-u)(-v)(13)5s这里的hA,B由以下三式求得ssDdR(p)=∑Bk,l

6、(d,e)5klR(p)(5)nk+l=su5vhA,B=CA,BbA,B(14)k,l≥0ss!kl其中其中Bk,l(d,e)=dek!l!nn!n-AnCA,B==212方向导数的Leibnitz公式A!B!(n-A-B)!BA对于函数X和Y(15)sssls-lDd(XY)=∑DdXDdY(6)ABl=0lABi+jbA,B=∑∑(-1)fi,j,n-i-j213方向导数的递归求值i=0j=0ij(16)(0≤A,B,A+B≤n)利用有理函数的低阶导数和分子分母的各阶导k+1,l+1数求有理函数的高阶导数(12)是方向导数的完全表达式,由hk,l的复杂表s-1

7、示可以看出,大量的运算将花在(13)上。sss-iiDdF-∑DdWDdRsi=0iDdR=W(7)4赋值格式0FDdR=R=sW赋值格式分五部分来叙述DdR(p)的求值过程。(1)求差分:求bA,B的各值,即(16)式的实现。3角域上Bernstein多项式的方向导数定义两个递归式rr-1r-1fi,j=fi-l,j-fi,j三角域上Bernstein多项式为(0≤r≤i≤n,0≤j≤n-i)(17)n0G(p)=∑gA,B,CBA,B,C(p)(8)fi,j=gi,j,n-l-jA+B+C=nA,B,C≥0(0≤i,j,i+j≤n)r,sr,s-1r,s-1