《有理域上的多项式》PPT课件.ppt

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1、§7.4有理域上的多项式1本原多项式结论1任意有理系数多项式和一个整系数多项式相通。定义1设ƒ(x)=a0xn+a1xn-1+…+an是一个整系数多项式，若系数a0,a1,…,an互质，则称ƒ(x)是一个本原多项式。结论2任意整系数多项式与一个本原多项式相通。结论3任意有理系数多项式与一个本原多项式相通。2设p是一个质数，ƒ(x)=a0xn+a1xn-1+…+ang(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm是两整系数多项式。若p整除ƒ(x)g(x)的所有系数，则p或整除ƒ(x)的所有系数或整除g(x)的所有系数。证明：反证法。假定p不整除ƒ

2、(x)的所有系数也不整除g(x)的所有系数。定理7.4.13证明：从后往前看ƒ(x)和g(x)，设ai，bj是ƒ(x)，g(x)的系数中第一个不为p整除者。于是，p不整除ai，p∣ai+1，…，p∣an(1)p不整除bj，p∣bj+1，…，p∣bm(2)ƒ(x)g(x)中xn-i+m-j的系数是：aibj+ai+1bj-1+ai+2bj-2+…+ai-1bj+1+ai-2bj+2+…此式中，除aibj外，其余各项由(1)及(2)都为p整除，而由p不整除ai，p不整除bj，有p不整除aibj，故p不整除xn-i+m-j的系数，与题设p整除ƒ

3、(x)g(x)的所有系数矛盾。证毕。4设ƒ(x)是本原多项式，g(x)是整系数多项式。若ƒ(x)∣g(x)，则以ƒ(x)除g(x)所得之商式必是整系数多项式。证明：由ƒ(x)∣g(x)知，有：g(x)=ƒ(x)h(x)不论h(x)是否为整系数多项式，总可以取一个正整数c使k(x)=ch(x)是整系数多项式，故，cg(x)=ƒ(x)k(x)。此式表示以c乘g(x)的所有系数就是ƒ(x)k(x)的所有系数，从而c整除ƒ(x)k(x)的所有系数。定理7.4.25设c=p1p2…pr是c的质因数分解式。则p1p2…prg(x)=ƒ(x)k(x)因

4、为p1∣p1p2…pr，故p1整除ƒ(x)k(x)的所有系数，但ƒ(x)是本原多项式，故p1整除k(x)的所有系数，从而k(x)=p1k1(x)，其中k1(x)是整系数多项式。因此有：p2…prg(x)=ƒ(x)k1(x)。同理有p1整除k1(x)的所有系数，如此下去，消去p1p2…pr最后得g(x)=ƒ(x)kr(x)。其中kr(x)是整系数多项式。但由g(x)=ƒ(x)h(x)，有h(x)=kr(x)，故h(x)是整系数多项式。证毕。6Eisenstein定则定理7.4.2设ƒ(x)=a0xn+a1xn-1+…+an是整系数多项式，若

5、对一个质数p，p不整除a0，p∣a1，…，p∣an，p2不整除an，则ƒ(x)在有理域上不可约。证明：用反证法，假定ƒ(x)有一个真因式(x)，因为(x)和一个本原多项式相通，不妨假定(x)本身就是本原多项式。故，(x)除ƒ(x)所得的商式ψ(x)是整系数多项式。7从而ƒ(x)可分解为非常数的两个整系数多项式之积，即，ƒ(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=(b0xr+…+br)(c0xs+…+cs)于是有a0xn=b0c0xr+s，an=brcs因为p不整除a0，所以p不整除b0，p不整除c0。因为p2不整除an，所以br和

6、cs中至少有一个不为p整除，不妨设p不整除cs。在b0xr+…+br中从后往前看，设第一个不为p整除的系数为bi。看(b0xr+…+br)(c0xs+…+cs)中xr-i的系数：bics+bi+1cs-1+bi+2cs-2+…(*)由题设，这个系数应为p整除。但p不整除bics，而(*)中其余各项都为p整除，可见p又不能整除这一系数，此为矛盾。证毕。8注意：并不是每一个有理域上的多项式都可用Eisenstein定则判定是否可约，xn+x+1就是一例。例：由Eisenstein定则知，x2-2在有理域上不可约，所以x2-2不可能有有理根，因

7、而立即推出是无理数。例：利用Eisenstein定则，可以写出许多在有理域上不可约的多项式，例如xn+2，x4+2x3-4x+10，xn+2x+2等。定理7.4.4对任意n≥1，有理域上有n次质式。9设p是质数，用Eisenstein定则证明多项式f(x)=xp-1+xp-2+…+x+1在R0上不可约。证明：f(x)=(xp-1)/(x-1)，令t=x-1，则x=t+1，代入f(x)得f(x)=(xp-1)/(x-1)=((t+1)p-1)/t=(tp+ptp-1+p(p-1)/2tp-2+…+pt+1-1)/t=tp-1+ptp-2+p

8、(p-1)/2tp-3+…+p显然质数P不整除1，而p整除后面的所有系数，且p2不整除p，故原式不可约。例1：10证明f(x)=3x5+7x2+5在有理域R0上不可约。证明：若f(x)在R0上