2.8有理数域上多项式

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1、2.8有理数域上多项式教学目的：1．理解本原多项式的概念和艾森斯坦因判别法，并能利用这个判别法来判断某些整系数多项式在有理数域不可约。2．掌握多项式有理根的求法并能熟练地求出有理系数多项式的有理根。教学内容：1．本原多项式定义若是一个整系数多项式f(x)系数互素，那么f(x)叫作一个本原多项式。关于本原多项式，有以下的引理2.8.1两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。证设给了两个本原多项式f(x)=a+ax+…+ax+…+axg(x)=b+bx+…+bx+…+bx,并且f(x)g(x)=c+cx+…+cx+…+cx.如果f(x)g(x)不是本原多

2、项式，那么一定存在一个素数p，它能整除所有系数c,c,…,c.由于f(x)和g(x)都是本原多项式，所以p不能整除f(x)的所有系数，也不能整除g(x)所有系数。令a和b各是f(x)和g(x)的第一个不能被p整除的系数。我们考察f(x)g(x)的系数c.我们有c=ab+…+ab+ab+ab+…+ab这等式的左端被p整除。根据选择a和b的条件，所有系数a,……a以及b,……b都能被p整除，因而等式右端除ab这一项外，其它每一项也都能被p整除。因此乘积ab也必须被p整除。但p是一个素数，所以p必须整除a或b.这与假设矛盾。2．整系数多项式的分解：定理2.

3、8.2若是一个整系数n(n>0)次多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。证设f(x)=g(x)g(x)这里g(x)与g(x)都是有理数域上的次数小于n的多项式。令g(x)的系数的公分母是b.那么g(x)=h(x),这里h(x)是一个整系数多项式。又令h(x)的系数的最大公因数是a.那么g(x)=f(x)这里是一个有理数而f(x)是一个本原多项式。同理，g(x)=f(x)这里是一个有理数而f(x)是一个本原多项式。于是f(x)=f(x)f(x)=f(x)f(x),其中r与s是互素的整数，并且s>0

4、。由于f(x)是一个整系数多项式所以多项式f(x)f(x)的每一系数与r的乘积都必须被s整除。但r与s互素，所以f(x)f(x)的每一个系数必须被s整除，这就是说，s是多项式f(x)f(x)的每系数的一个公因数。但f(x)f(x)是一个本原多项式，因此s=1,而g(x)=[rf(x)]f(x).rf(x)和rf(x)显然各与g(x)和g(x)有相同的次数，这样，f(x)可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。1．艾森斯坦因判断法及推广：定理2.8.3设f(x)=ax+ax+…+ax是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p,使（i）最高次项系

5、数a不能被p整除，（ii）其余各项的系数都能被p整除，（iii）常数项a不能被p整除，那么多项式f(x)在有理数域上不可约。证若是多项式f(x)有理数域上可约，那由定理2.8.2,f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：f(x)=g(x)h(x)这里g(x)h(x)并且k

6、g(x)中第一个不能被p整除的系数是b。考察等式a=bc+bc+…+bc由于在这个等式中a,b,……,b都被p整除，所以bc也必须被p整除。但p是一个素数，所以b与c中至少有一个被p整除，这是一个矛盾。我们知道，在复数域上只有一次的多项式是不可约的，而在实数域上只有一次和一部分二次的多项式是不可约的，然而应用艾森斯坦因判断法我们很容易证明以下事实：有理数域上任意次的不可约多项式都存在。艾森斯坦因判断法不是对于所有整每当多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数p不总存在。若是对于某一多项式样f(x)找不到这样的素数p，那么f(x)可能在有理数域上可

7、约也可能不可约。例如，对于多项式x+与x+来说，都找不到一个满足判断法的条件的素数p.但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一多项式不可约。有时对某一多项式f(x)来说，艾森斯大林坦因判断法不能直接应用，但是把ff(x)适当亦形后，就可以应用这个判断法。我们看一个例子，设p是一个素数，多项式f(x)=++…+x+1叫做一个分圆多项式。我们证明，f(x)在Ｑ［x］中不可约。在这里不能直接应用艾森斯坦顺判断法。但是如果令x=y+1,那么由于(x-1)f(x)=x-1我们得到yf(y+1)=(y+1)-1=y+y+…+y令g(y)=f(y+1).于是g(

8、y)=y+y+…+g(y)的最高次项系数不能被p整除。其余的系数都是二项式系数，它们都能被p整除。事实上，当